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기초 미적분학
코스: 기초 미적분학 > 단원 10
단원 4: 대수적 성질을 이용하여 극한값 구하기: 극한의 성질결합함수의 극한: 내부 극한이 존재하지 않습니다
x=-1일 경우 h(x)의 극한이 존재하지 않을 경우 x=-1에서 g(h(x))의 극한을 구해보세요. 이는 결합함수의 극한이 존재하지 않는다는 뜻인가요? 아닙니다! 어떻게 분석할지 보세요. 만든 이: 살만 칸 선생님
동영상 대본
좋아요 합성함수의 극한을
구하는 연습을 더 해보죠 합성함수의 극한을
구하는 연습을 더 해보죠 x가 -1에
가까워질 때 g(h(x))의 극한은
무엇일까요? 함수 g의 그래프는
왼쪽에 있고 함수 h의 그래프는
오른쪽에 있습니다 함수 h의 그래프는
오른쪽에 있습니다 동영상을 멈추고
스스로 풀어보세요 처음엔 이렇게 생각할
가능성이 있습니다 x가 -1에 가까워질 때
h(x)의 극한을 생각하고 극한이 존재한다면
g에 대입한다고요 x가 -1에 가까워질 때
h(x)의 극한을 구하면 오른쪽에서
접근하는 것과 오른쪽에서
접근하는 것과 왼쪽에서 접근하는 것의
극한이 다릅니다 그래서 여기에서
그만두고 싶을 수 있는데 이번 동영상에서는
이 합성함수의 극한이 존재한다는 것을
알아볼 것입니다 x가 -1에 가까워질 때 h(x)의 극한이
존재하지 않더라도 말이죠 그러면 이걸
어떻게 구할까요? 오른쪽 극한과 왼쪽 극한을
구해볼 수 있습니다 x가 -1에 가까워질 때 g(h(x))의 오른쪽 극한을
구해 봅시다 g(h(x))의 오른쪽 극한을
구해 봅시다 그러면 x가 -1에
가까워질 때 h(x)의 오른쪽
극한은 무엇인가요? 오른쪽에서
-1에 가까워질 때 h가 -2에
가까워지는 것 같네요 다르게 생각해보면 이건 x가 -2에
가까워질 때 h(x)의 극한과 같습니다 그리고 -2를 어떤
방향에서 접근하죠? -2보다 큰 값에서
접근합니다 h(x)는 -2까지
아래로 감소합니다 x가 오른쪽에서
-1에 가까워지면서요 g(h(x))보다 큰 값에서
-2에 가까워집니다 g(h(x))보다 큰 값에서
-2에 가까워집니다 g(h(x))보다 큰 값에서
-2에 가까워집니다 색깔로 구분하기
쉽게 하겠습니다 이건 x가
양의 g(x)의 방향에서 -2에 가까워질 때의
극한을 생각하는 것과 같습니다 -2에 가까워질 때의
극한을 생각하는 것과 같습니다 여기서 h는
g의 대입값일 뿐입니다 따라서 g의 대입값은 위에서 -2에
가까워집니다 -2보다 값이 큰
오른쪽에서요 g는 3에
가까워짐을 볼 수 있습니다 따라서 이것은 3과 같습니다 이제 x가
g(h(x))의 왼쪽에서 -1에 가까워질 때의
극한을 구해 봅시다 먼저 x가 왼쪽에서
-1에 가까워질 때 h는 무엇에
가까워지는지 보면 됩니다 x가 왼쪽에서
-1에 가까워질 때 h는 -3에
가까워지는 것 같네요 이것은 x가 -3에 가까워질 때
h(x)의 극한이라고 할 수 있고 이것은 x가 -3에 가까워질 때
h(x)의 극한이라고 할 수 있고 -3보다 큰 값에서
-3에 접근합니다 -3보다 큰 값에서
-3에 접근합니다 h(x)는 위에서
-3에 가까워지죠 혹은 -3보다
큰 값에서요 이 때
g(h(x))의 극한입니다 이렇게 생각할 수 있습니다 g의 대입값이 오른쪽에서 -3에 가까워질 때
극한값은 무엇일까요? 오른쪽에서
-3에 접근하면 g는 딱 3에 있습니다 따라서 이것도 3입니다 이 경우 왼쪽 극한과
오른쪽 극한이 서로 같음을
알 수 있습니다 따라서 오른쪽 극한과
왼쪽 극한이 같으므로 구하려고 한 극한이
이것과 같음을 알 수 있습니다 구하려고 한 극한이
이것과 같음을 알 수 있습니다 아주 흥미로운 예제네요 내부 함수 h(x)의
극한은 존재하지 않지만 내부 함수 h(x)의
극한은 존재하지 않지만 합성함수의
극한은 존재했습니다