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주요 내용

부분적으로 정의된 함수의 극한

부분적으로 정의된 함수의 극한을 구할 때 x가 어디서 접근하는지에 따라 적절한 함수의 정의를 사용해야 합니다.

동영상 대본

이번 영상에서는 대수적으로 정의된 개별식 함수의 극한에 대하여 알아봅시다 여기 f(x)처럼 말이죠 영상을 정지하고 스스로 한 번 다음의 극한값들을 구해보세요 이 중 몇 가지는 한쪽 극한이고 다른 몇 가지는 일반적인 극한 혹은 양쪽 극한입니다 첫 번째 극한값부터 구해 봅시다 x가 4에 한없이 가까워지며 x는 4보다 큰 값을 가집니다 이 플러스 부호가 그것을 표시해 주고 있습니다 x가 4보다 클 때 f(x)는 √x입니다 우극한, 즉 오른쪽으로부터 4를 향해 가까워지므로 함수의 이 부분에 대해 고려해야 합니다 따라서 이것은 √4의 값을 가질 것입니다 정확히 4에서는 f(x)가 이러한 형태를 가지지만 4보다 큰 숫자들로부터 4를 향해 가까워지고 있으므로 오른쪽에서 가까워지고 있습니다 따라서 함수는 이 두 번째 형태를 가지게 되며 2의 값을 가지게 됩니다 좌극한, 즉 왼쪽으로부터 4를 향해 가까워진다면 f(x)의 극한값이 무엇일까요? 이 경우에는 함수가 첫 번째 형태를 가지게 됩니다 따라서 함수는 4 + 2 / 4-1이며 따라서 함수는 4 + 2 / 4-1이며 이것은 6/3, 혹은 2의 값을 가집니다 따라서 x가 4에 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값을 찾으려면 이 문제가 좋은 예가 됩니다 왜냐하면 왼쪽과 오른쪽 각기 다른 두 방향으로부터 x가 4에 한없이 가까워지며 즉 좌극한과 우극한이 같은 값입니다 양쪽 극한이 극한값을 가지려면 좌극한과 우극한이 같아야 합니다 이 경우에는 그것이 해당되므로 극한값이 2가 됩니다 x가 2에 한없이 가까워질 때 f(x)의 극한값은 무엇일까요? x가 2에 한없이 가까워질 때 함수는 첫 번째 형태를 가지게 됩니다 x가 1일 때 흥미롭게도 분모가 0이 됩니다 그런데 x가 2일 때는 함수의 곡선이 연속됩니다 따라서 값을 치환하기만 하면 됩니다 극한값은 2 + 2 / 2 - 1이 됩니다 이는 곧 4/1, 혹은 4입니다 예시를 하나 더 들어보죠 개별식 함수가 여기 하나 더 있습니다 개별식 함수가 여기 하나 더 있습니다 영상을 정지하고 스스로 한 번 문제를 풀어보세요 자, 이제 같이 풀어봅시다 x가 오른쪽으로부터 -1에 한없이 가까워질 때 극한값은 무엇일까요? 우극한, 즉 오른쪽으로부터 한없이 가까워지게 되면 x가 -1과 같거나 큰 값을 가질 때 개별식 함수는 두 번째 형태를 가집니다 따라서 이 극한값은 2의 -1제곱이 됩니다 이는 1/2입니다 좌극한의 경우에는 어떨까요? 좌극한의 경우에는 함수가 첫 번째 형태를 가집니다 x가 -1의 왼쪽으로부터 한없이 가까워지므로 이 경우에는 개별식 함수가 여기 첫 번째 형태를 가지므로 -1 + 1 곧 sin(0)이 되며 이는 0과 같습니다 이제 x가 -1에 한없이 가까워질 때 g(x)의 양쪽 극한값은 무엇일까요? 이 경우에는 좌극한과 우극한이 서로 다릅니다 한쪽 극한 두 개가 서로 같은 값을 향해 가까워지고 있지 않다면 극한값은 존재하지 않습니다 x가 오른쪽으로부터 0에 가까워질 때 g(x)의 극한값은 무엇일까요? 0의 우극한에 대해 고려한다면 이 영역에 값이 있게 됩니다 0은 분명 이 범위 내에 있으니까요 그리고 이 범위에 걸쳐서 함수의 해당 형태는 연속되므로 x에 0을 치환할 수 있습니다 이는 2의 0제곱, 혹은 1입니다