부분적으로 정의된 함수의 극한 : 절댓값

f(x)가 (x-3)분의 절대값 (x-3)라 합시다. 여기서 우리가 구할 것은 극한 x가 3으로 수렴할 때의 f(x)의 값 입니다. 여기서 f(x)를 보면 x가 3일 때 이 함수는 정의될 수 없음을 알 수 있습니다. 왜냐하면 x가 3이 되면 이 분수는 0/0이 되어 말이 되지 않기 때문입니다. 자 그러면, 이 문제를 풀기 위해서 이 함수 f(x)를 약간 다르게 써 보겠습니다. 그러면 f(x)는 2가지의 방식으로 나눠지는데요 x가 3보다 클 때와 x가 3보다 작을 때로 나눌 수 있겠습니다. 그전에 2가지 색깔을 쓰면 좋겠군요.... 그전에 2가지 색깔을 쓰면 좋겠군요... x가 3일때는(녹색으로 하죠) 이 함수 f(x)는 뭐가 될까요? 제가 이 부분에 3보다 큰 숫자 아무거나 넣으면 0보다 큰 숫자를 구하겠죠. 그리고 그 구한 값에 절대값을 구해주면 아무 변화없이 값이 구해집니다. 그래서 이 곳은 (x-3)분의 (x-3)이 됩니다. 왜냐하면 x 가 3보다 크면 분자는 양수가 되고 분자에 절대값을 씌워도 양수가 되므로 (변화지 않죠?) 이렇게 쓰면 됩니다. 아니면 이렇게 쓸 수도 있죠 x가 3보다 크면 1을 갖게 됩니다. 이와 같이 x가 3보다 적을 경우도 구해보죠. x가 3보다 적으면 이곳은 0보다 작은 음수가 되고 절대값을 씌우면 그 반대가 되기 때문에 x-3 전체에 반대 부호를 씌우면 (x-3)분의 -(x-3)가 되겠죠. 분자와 분모 약분해주면 x가 3보다 작을 때는 y는 -1이 되겠습니다. 만약 제 설명이 이해가 되지 않으신다면 실제 숫자를 한번 넣어 보세요. 3.1 이나 3.001 또는 3.5 , 4, 7 같은 3보다 큰 아무 숫자를 집어 넣어 보시면 1을 구하게 되실 겁니다. 3보다 작은 숫자도 마찬가지로 대입해 보시면 -1을 구하게 되실 겁니다. 그러면 한번 그래프를 그려볼까요? 그럼 먼저 x 좌표를 그리고요.. 이게 제 x 축입니다... 그리고 이게 제 y축 다른말로는 f(x)축입니다. (그래서 y=f(x)임) x축은 1,2.3,.4.5 .... y축도 1,2, 그리고 -1,-2, 이런식으로 그리겠죠.. 이부분은 f(x)를 더 쉽게 알아보기 위해 쓴 100퍼센트 f(x)와 같은 함수 입니다. 제가 아까도 말했었죠..^^ 그래서 그래프로 표현하면... x가 3일 때는 정의 될수 없고요 x가 3 보다 크면 y값은 1이 되니까 이렇게 그리면 되겠죠. x가 3일때는 정의가 안되구요(그래서 안이 휑한 동그라미그림임) x가 3보다 작을 때는 -1입니다. 이렇게 그리면 되겠죠. 그래서 이제 정답을 써보겠습니다. 극한 x가 3으로 수렴할때 f(x)의 값은 무엇인가? 극한 값이 음수를 가질 때 즉 x가 3보다 적을 때를 먼저 보겠습니다. 극한값이 음수일 때 x가 3으로 수렴하면 제가 x-로 쓰는 이유는 극한이 x=3의 왼쪽에서 부터 x=3으로 가고 있다는 것을 말해줍니다. 그래서 이 경우에는 왼쪽에서 오른쪽으로 쭉 따라가 보면 예를 들어서 x가 0 일때 y는 -1 이구요 x가 1일때 y는 -1, x가 2일때는 y는 -1, x가 2.9999999 일때도 y는 -1 이 되는 것을 알수 있습니다. 그래서 좌극한은 -1이 되겠습니다. 그럼 이제 극한값이 양수 일때, 즉 x가 3보다 클 때의 경우를 살펴 보겠습니다. 그래서.. x가 5일때 y값은 1이고요, x가 4일때 y값은 또 1 이고요 x가 3.0000001일때도 y값은 1이 되는 걸 보실 수 있습니다. 그래서... 우극한은 1이 되겠습니다. 이 그래프는 이상하게도 왼쪽에서 접근할때는 -1이 되고 오른쪽에서 접근할때는 1이 되는 것을 보실 수 있습니다. 좌극한과 우극한이 다르면 이 극한의 값은 존재하지 않습니다. 그래서 극한 값은 존재하지 않습니다. 다른 말로 한다면.. 극한 f(x)에서 x가 상수 c로 수렴할 때 상수 L이라는 값을 가지려면 좌극한과 우극한이 동시에 상수 L을 가질 때만 가능합니다. 그러나 이 문제에서는 그렇지 않습니다. 좌극한은 -1을 가졌고 우극한은 1을 가졌기 때문에 좌극한과 우극한은 같지 않다는걸 볼수 있습니다. 따라서 극한 f(x)는 존재하지 않습니다.