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주요 내용

피타고라스 정리를 활용한 삼각함수의 극한

θ=0에서 (1-cosθ)/(2sin²θ)의 극한값을 피타고라스 정리를 활용하여 구해 봅시다.

동영상 대본

이 극한을 찾아봅시다 θ가 0으로 접근할 때 1-cosθ 나누기 2sin²θ의 극한입니다 항상 하는 것처럼 동영상을 멈추고 이 문제를 먼저 풀어봅시다 이제 우리가 첫번째로 하고 싶은 것은 항상 하던 것처럼 lim(1-cosθ) x가 접근할 때, 아 x가 아니고 θ가 0으로 접근하는 것입니다 θ가 0으로 접근할 때 나누기 θ가 0으로 접근할 때 2sin²θ의 극한입니다 이 두가지 표현 모두 함수를 정의할 때 사용되는데 그래프를 그렸을 때 모두 연속함수입니다 θ=0에서 모두 연속함수이고 그렇기 때문에 극한은 θ=0을 대입했을 때의 계산값과 같습니다 그래서 이 식은 1-cos0 나누기 2sin²0이 됩니다. cos0=1이므로 1-1=0이고 sin0=0이므로 제곱해도 여전히 0이고, 두배를 하더라도 여전히 0입니다 그래서 0/0꼴입니다 불확정 형태를 얻었습니다 이 불확정 형태인 0/0꼴을 얻었을 때 그것은 포기하라는 것을 의미하는 것이 아니고 극한이 존재하지 않는다는 것을 의미하는 것도 아닙니다 이것은 아마도 우리가 해야할 다른 접근이 있다는 의미입니다 만약 0이 아닌 어떤 수 나누기 0의 형태를 얻었다면 극한이 존재하지 않다는 사실을 알고 극한이 존재하지 않는다고 이야기하면 됩니다 그러나 이 문제에서는 이 표현에 대해 다른 방법으로 생각해보아야 합니다 여기 이 표현에서는 다른 색을 사용해보겠습니다 이 식을 f(x)라고 합시다 f(x)는 1-cosθ 나누기 2sin²θ입니다 이 식을 우리는 다른 방법으로 다시 적어본다면 θ가 0으로 접근할 때의 이 극한에서 0/0꼴을 다시 얻지는 않을 것입니다 0/0꼴을 다시 얻지는 않을 것입니다 여기에는 삼각함수가 있습니다 그렇기 때문에 삼각함수의 성질을 사용할 수 있습니다 이 식을 간단하게 하기 위해서는요 한가지 떠오른 것은 sin²θ가 있고 삼각법에서의 피타고라스 정리로부터 sin과 cos을 단위원에서 정의할 때 나오는 식을 알고 있습니다. sin²θ와 cos²θ를 더하면 1 sin²θ+cos²θ=1 입니다. 즉, sin²θ는 sin²θ=1-cos²θ입니다 sin²θ=1-cos²θ 식을 다시 적어봅시다 이 식은 1-cosθ 나누기 2(1-cos²θ)입니다 분자는 1-cosθ이고 분모는 1-cos²θ 아직 간단히 할 수 있는 방법이 완전히 명백하게 보이지는 않습니다 이것이 제곱의 차이로 볼 수 있다는 것을 깨닫기 전까지는 말입니다 이 식을 a²-b² 이렇게 볼 수 있다면 우리는 이 식이 (a+b)(a-b)로 인수분해 되는 것을 알고 있습니다 그래서 이 식을 다시 써보겠습니다 이 식은 1-cosθ 나누기 2곱하기 이 식을 1+cosθ와 1-cosθ의 곱으로 쓸 수 있습니다 1+cosθ 곱하기 1-cosθ 이제 흥미로운 일이 펼쳐집니다 분자에 1-cosθ가 있고 분모에도 1-cosθ가 있습니다 이제 이렇게 하고 싶다는 생각이 들 것입니다 "이 식으로 약분하자" 이제 식을 간단히 적어보겠습니다 f(x)는 1 나누기 여기 2를 분배해서 2+2cosθ가 됩니다 2+2cosθ가 됩니다 이 두 식은 같은 것이 아니라고 생각할 수 있습니다 이 두 식은 같은 것이 아니라고 생각할 수 있습니다 왜냐하면 여기 정리된 이 f(x)는 이 식은 정의됩니다 이 식은 θ=0일 때 정의됩니다 반면에 이 식은 θ=0일 때에는 정의되지 않습니다 θ=0일 때 분모는 0이기 때문입니다 우리가 얻은 이 f(x)를 사용하기 위해서 즉 이 두가지가 같기 위해서 θ는 절대 0과 같을 수 없습니다 다시 극한에 대해 생각해봅시다 우리가 찾고자 하는 것은 θ가 0으로 접근할 때 f(x)의 극한입니다 우리는 이것을 직접 치환할 수는 없습니다 이것을 진지하게 받아들인다면 말입니다 왜냐하면 우리는 0을 이곳에 대입하려고 했는데 f(x)는 0에서 정의되어있지 않기 때문에 θ는 0이 될 수 없다고 생각할 수 있습니다 이 식 자체는 0에서 정의되어있지만 이 식은 이 f(x) 식에 0을 대입할 수 없다는 것이기 때문입니다 하지만 우리는 다른 함수를 생각해볼 수 있습니다 0을 제외한 곳에서 정확히 일치하는 함수를 생각해봅시다 그 함수는 0에서 연속입니다 그러면 g(x)를 1 나누기 2+2cosθ라고 합시다 그러면 이 극한은 정확히 θ가 0으로 갈때 g(x)의 극한과 같게 됩니다 다시 말하면 이 두 함수는 같습니다 f(x)는 정의되지 않았지만 g(x)는 정의된 θ=0을 제외하면 말입니다 그러나 θ가 0으로 접근할 때 극한은 같게 됩니다 이전 동영상에서 이미 본 적이 있습니다 많은 생각을 하고 있을 거라는 것을 압니다 Sal이 여기서 왜 대수적인 계산을 하지 않는지 이 식을 약분하고 θ에 0을 대입하고 물론 이렇게 하면서 답을 구할 수 있습니다 그렇지만 지금 하는 과정은 수학적으로 굉장히 중요한 과정입니다 이 두 식을 약분하면서 이 표현은 갑자기 0에서 정의되는 식이 되었고, 우리는 다른 표현이나 다르게 정의된 함수를 다루게 된 것입니다 명확하게 이 함수를 우리가 극한을 찾는 함수라고 이야기하려면 우리는 이 제약 조건을 넣어주어야만 합니다 정확히 같은 정의역을 갖도록 하기 위해서 입니다 하지만 운좋게도 우리가 놓은 이 함수 g(x)는 그 점에서 연속입니다 그 점에서 구멍을 가지지 않기 때문입니다 불연속인 점이 없습니다 그렇기에 극한값은 같습니다 θ가 0으로 접근할 때 g(x)의 극한은 0에서 연속이기 때문에 우리는 치환할 수 있고 g(0)과 같다고 할 수 있습니다 1나누기 2+2cos0 입니다 2+2cos0 입니다 cos0=1입니다 따라서 1나누기 2 더하기 2 2 더하기 2 1/4 입니다 마치겠습니다