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주요 내용

덧셈법칙을 활용한 삼각법의 극한

 θ=-π/4에서 (1+√2sinθ)/(cos2θ)의 극한값을 코사인 배각정리를 활용하여 구해 봅시다.

동영상 대본

자 한번 θ가 -π/4가 될 때 cos(2θ) 분의 √ 2 sin θ/1에 대한 극한값을 찾아봅시다 그리고 항상 그렇듯 여기서 같이 풀어보기 전에 먼저 한 번 해보세요 그럼 한 번 해보시고 이것을 θ가 -π/4가 될때의 θ가 -π/4가 될때의 극한값 1 + √ 2 sine θ 나누기 θ가 -π/4가 될때의 극한값에 θ가 -π/4가 될때의 극한값에 음부호를 꼭 붙여주고 cos (2θ)과 같다고 해주십다 그리고 두 항 모두다 만약 함수의 정의를 내거나 또는 그래프 y가 1 더하기 √sine √ 2 곱하기 sin θ와 같다고 하거나 y가 cos(2θ)와 같다고 할 때 연속 함수가 나오게 됩니다 특히나 θ가 -π/4와 같은 지금에 말입니다 그렇다면 그냥 대입하면 되겠지요 한번 해보면 이 값은 이쪽항이 -π/4를 나타내므로 1 + √2 x sin에 -π/4 나누기 2 x -π/4 의 cos이 됩니다 나누기 2 x -π/4 의 cos이 됩니다 자 π/4 -π/4의 sin은 -√2/2가 되므로 이것이 -√2/2가 됩니다 이것을 라디언이라고 생각하고 각도로 보면 이것은 -45°가 됩니다 알아두면 좋은 삼각함수값 중 하나인 셈이죠 그래서 만약 만약 1이 있다고 하면 한번 봅시다 그냥 다시 적겠습니다 그럼 1 더하기 √2 곱하기는 -2/2가 되고 그러므로 -1이 됩니다 이것이 분자입니다 여기있는 모든 것들이 이렇게 간략화 됩니다 -1 나누기 cos(-π/2)이 되겠습니다 그렇죠? cos(-π/2)이 되겠습니다 그렇죠? 이것이 -π/2 이고 만약 각도로 생각한다면 90°가 되겠습니다 이것의 cos는 그냥 0이 되므로 결국에는 0/0와 같은 것 입니다 그리고 아까 이야기 했던 것 처럼 0이 아닌 수가 0으로 나누어진 값을 갖게되면 아예 값이 존재하지 않는다고 하였습니다 그냥 포기하고 넘어갈 수 도 있겠지만 정의할수 없는 값이 극한값 조차 존재하지 않는다고 말하는 것은 아닙니다 보통은 우리의 공구함에 있는 공구를 써서 문제를 다루라는 힌트이죠 여기선 정의된 항이 θ라고 정의되거나 여기선 정의된 항이 θ라고 정의되거나 정의가 안되거나 아예 정의가 안되는 형태거나 또는 θ가 π/4와 같다고 한다면 이것또한 우리가 공구함에서 쓸 미래의 공구가 되겠죠 그럼 한번 대수학적으로 다루어 봅시다 만약 여기 1+√2 sin θ/ cos(2θ)가 있다고 하면 만약 여기 1+√2 sin θ/ cos(2θ)가 있다고 하면 바로 예상할 수 있듯이 여기서 유용하게 쓰일 수 있는것은 삼각함수 항등식일 것 입니다 특히 여기 cos(2θ)가 흥미로워 보이는 군요 한번 cos(2θ)이 포함된 삼각함수 항등식을 적어보겠습니다 이곳에 적겠습니다 cos(2θ)은 cos(2θ)은 cos² θ - sin² θ cos² θ - sin² θ 와 같습니다 이것은 1 - 2 sin² θ 즉 2 cos² θ - 1과 같습니다 삼각함수 항등식을 이용하면 이것에서 이것으로 그리고 이것으로 유추해낼 수 있습니다 그 전 칸아카데미에 있는 삼각함수에서 증명해 보인 것들 입니다 자 여기 있는 것들이 실용적이라고 생각하십니까? 일단 여기 있는 세 항들은 모두 이차방정식 인수분해가 가능하므로 흥미롭게 정리할 수 있습니다 그리고 다시 되새기자면 오늘 하루의 목표는 이것들은 약분하여 0/0가 되게 만드는 일 일 것 입니다 만약 이것을 정리하여 2 sin θ 의 1 + √2 를 포함하는 것으로 만든다면 조금 고되겠지만 일단은 여기에 있는 1 + √2 sin θ 곱하기 1 - 2 sin θ 와 같은 형태를 띌 것 입니다 일단 이것을 써보겠습니다 2 θ 의 cosine은 2 θ 의 cosine은 이차방정식의 항등식인 1 - 2 sine² θ 과 같게 됩니다 이차방정식의 항등식인 1 - 2 sine² θ 과 같게 됩니다 이것은 다시 a² - b² 즉 +b 곱하기 -b로 써질 수 있습니다 그러므로 이것을 1 + √2 sin θ X 1 - √2 sin θ 로 대체시킬수 있습니다 자 이제 깔끔한 약분이 나왔습니다 아니 곧 약분이 될 수 있는 상태이죠 그러므로 이것이 이거로 약분되고 이것이 다른 색깔로 쓸게요 이것이 분모에 1과 분자는 아까 남은 1 - √2 sin θ 와 같습니다 그리고 만약 이 항들이 모두 같게 만들고 싶다면 각각을 모두 같게 만들어야 합니다 만약 이것들을 같은 정의역을 가진 함수들이라고 본다면 여기의 이것은 여기의 이것은 이미 --π/4인 θ이라고 정의가 되지 않았으므로 여기의 이것이 모두 같아지려면 여기에 이것도 사실은 조금 다르긴 하지만 일단은 일단은 θ가 θ가 -π/4와 같지 않다고 해봅시다 - π/4 그리고 일어난 모든 일들이 - π/4을 중심으로의 열린구간이라고 생각해봅시다 더 정확해지고 싶다면 아니면 이 특정한 상황에서 더욱 그냥 지금 하고 있는 모든 것들이 열린구간이라고 하면 이 이 열린 구간 열린 구간 사이에는 θ 또는 -1 과 1이 맞는 것 같네요 또는 -1 과 1이 맞는 것 같네요 π가 있으므로 만약 π/4가 있다면 0/0의 형태가 만들어지지는 않을 것 입니다 0/0의 형태가 만들어지지는 않을 것 입니다 그리고 π/4는 여기의 분모를 0과 같게 만들 것 이고 또한 한번 봅시다 π/4는 여기의 분모도 0과 같게하네요 일단 우리에게 1 - 1이 생기므로 아마도 그냥 예상해도 문제는 없을 것 같습니다 만약 이것을 열린구간이라고 제한시킨다고 하더라도 이 극한값이 열린구간 안의 수가 되므로 그것도 괜찮습니다 제가 지금 설명을 하고 있고 정확하게 하는 것이 중요하므로 더 오버해서 정확하게 짚고 넘어가자면 그래도 만약에 여러분들이 시험을 치고 있거나 공책에 필기하고 있다면 별로 그렇게 많이 이 모든 것들을 쓰는데 힘이 들지는 않을 것 입니다 그래서 지금 알아채린 것은 그것은 그래요 이 항은 사실은 이렇게 생각을 해봅시다 극한값에 대해 생각해보는 것 이에요 θ인 극한값이 -π/4이 되어가는 것이요 θ인 극한값이 -π/4이 되어가는 것이요 아무런 제한없이 1/1 - √2 θ의 sine이 됩니다 만약 이것에 대해서 한다면 이 열린 구간 말입니다 잠시만요 사실은 θ를 무시하고도 이 θ 또는 이 항이 계속된다고 보면 θ가 -π/4일때 계속된다고 정의되면 그저 1/1 - √2 1/1 - √2 곱하기 -π/4의 sine이 됩니다 -π/4의 sine -π/4의 sine 그전에 우리는 이미 이것이 - √2/2라는 것을 보았습니다 그래서 이것이 1/1-√2 곱하기 -√2/2 되는 것이고 음수와 음수이니 양수 √2 곱하기 √2 양수 √2 곱하기 √2 인 2/2 즉 1을 갖게 됩니다 그러므로 이것이 1/2와 같게됩니다 자 이제 저는 더 알아듣기 쉽게 가고 싶습니다 이쪽의 항은 이쪽의 항과 같은 것이 아닙니다 이들은 그냥 θ의 값들이 같은 것이고 특히 이쪽의 θ가 -π/4인것만 빼놓고 열린구간과 모두 연관이 있습니다 열린구간과 모두 연관이 있습니다 이쪽의 것은 정의가 되어있지 않고 이쪽의 것은 정의가 되어있지 않고 하지만 이전에 많이 보았듯이 함수를 찾고나서 값이 본래값과 같거나 항 일때 즉 본래 항과 같을 때 그리고 본래의 정의되지 않은 항을 제외하고서 모든 θ의 값들이 특정한 부분에서 같을 때 그러면서도 새로운 항은 정의되고 계속된다고 할 때 이 두개의 극한값은 같아집니다 그러므로 만약 이 극한값이 1/2이라면 이 극한값도 1/2입니다 그리고 이 전 영상에서 말했듯이 아마 굉장히 쉽게 말하는 것 같기도 하겠지만 저는 대수학적으로 간단하게 풀어 이것을 구하겠습니다 그리고 여기의 제약들은 크게 신경쓰지 않고 -π/4 대입하면 -π/4 대입하면 정답을 구할 수 있게 되지요 맞는답일 것 입니다 그래도 이쪽 항과 이쪽 항이 다르다는 것을 알고있다는 것은 무척 중요합니다 그리고 여기서 할 수 있는 것은 만약 여기 두개의 항이 있을 때 여기에 f 와 g 가 있을때 두 항이 두 항이 여기다 적겠습니다 모든 x 모든 x 이걸 제외하고 잠시만요 그냥 이렇게 적을께요 잠시만요 그냥 이렇게 적을께요 이걸 제외한 모든 x값 그리고 극한값은 다시 적겠습니다 a 를 제외한 모든 x와 같고 a값으로부터 계속되는 f값 그렇다면 x의 f 극한값은 x가 a로 되면서 x의 g극한값이 될 때 x가 a로 되면서 입니다 그리고 제가 다른 영상에서도 말했듯 그게 우리가 여기서 하고 있는 것 입니다 그래도 다시 한번 확실하게 하자면 답은 1/2 입니다