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주요 내용

극한이란?

극한은 어떤 점에서의 함숫값이 아니라 그 점 근처에서 함수의 형태를 나타냅니다. 이 개념은 미적분학에서 매우 중요합니다.
극한이 무엇인지 이해하기 위해, 예제를 하나 살펴봅시다. 함수 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2를 가지고 시작해 봅시다.
함수 f를 그래프로 그렸습니다. x축은 0에서 9까지 이어집니다. 그래프는 (0, 2)에서 시작해서 위로 올라가 (2,4)와 (4, 6)을 지난 후, (7,9)까지 이어집니다 .web+graphie://cdn.kastatic.org/ka-perseus-graphie/507e8f38d9db338d657f07b535ba2ed4a8a9d206
x, equals, 3에서 f의 극한값은 x, equals, 3에 점점 가까워질수록 f가 갖는 값입니다. 그래프를 통해서 봤을 때, 이는 f의 그래프를 따라 x, equals, 3에 다가갈수록 y가 가까워지는 값입니다.
예를 들어, 점 left parenthesis, 1, comma, 3, right parenthesis에서 시작해서 그래프를 따라 x, equals, 3에 아주 가까이 다가간다면, y값(즉, 함수값)은 5에 아주 가까워집니다.
함수 f의 그래프가 애니메이션으로 만들어졌습니다. (1, 3)에서 (2.99, 4.99)까지 잇는 직선을 따라 한 점이 위로 움직입니다.
Geogebra가 만듦
같은 맥락에서, 만약 left parenthesis, 5, comma, 7, right parenthesis에서 시작해서 왼쪽으로 움직여 x, equals, 3에 아주 가까이 다가간다면, y값은 아까와 같이 5에 아주 가까워집니다.
함수 f의 그래프가 애니메이션으로 만들어졌습니다. (5, 7)에서 (3.01, 5.01)을 잇는 직선을 따라 한 점이 아래로 움직입니다.
Geogebra가 만듦
이러한 이유로, x, equals, 3에서 f의 극한값은 5라고 할 수 있습니다.
함수 f의 그래프에는 직선을 따라 화살표가 있으며, 각 화살표는 오른쪽에서는 위를 향해 있으며, 왼쪽에서는 아래를 향해 있고, 점 (3, 5)를 가리키고 있습니다.
x, equals, 3에서 f가 가지는 극한값과 x, equals, 3에서 f가 가지는 , 즉 f, left parenthesis, 3, right parenthesis가 어떻게 다른지 궁금할 겁니다.
네, x, equals, 3에서 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2의 극한값은 f, left parenthesis, 3, right parenthesis과 같지만, 항상 이런 것은 아닙니다. 이를 이해하기 위해, 함수 g를 살펴봅시다. 이 함수는 x, equals, 3에서 정의되지 않았다는 점만 빼면, f와 같은 함수입니다.
함수 g를 그래프로 그렸습니다. x축은 0에서 9까지 이어집니다. 그래프는 (0, 2)에서 시작해서 위로 움직여 (2, 4)를 지나고 (3, 5)에서 열린 원을 가진 후, (7, 9)까지 이어집니다.
f와 같이, x, equals, 3에서 g의 극한값은 5입니다. 이는 x, equals, 3에 아주 아주 가까워지는 것은 여전히 가능하며, 이에 따라 함수값은 5에 아주 아주 가까워지기 때문입니다.
함수 g의 그래프에는 선을 따라 화살표가 있으며, 각 화살표는 오른쪽에서는 위를 향해 있으며, 왼쪽에서는 아래를 향해 있고, 열린 원 (3, 5)를 가리키고 있습니다.
따라서 x, equals, 3에서 g의 극한값은 5이지만, x, equals, 3에서 g의 값은 정의되지 않습니다! 이는 서로 다릅니다!
이것이 극한이 멋진 이유입니다: 극한값은 해당 점에서의 함수의 실제 값과는 상관이 없습니다. 극한값은 함수가 극한에 가까워졌을 때 어떻게 반응하는지를 설명해 줍니다.
연습문제 1
이것이 h의 그래프입니다.
x, equals, 3에서 h의 극한값의 합리적인 추정값은 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

극한에 대한 특별한 표기법 역시 존재합니다. x3에 가까워질 때 f의 극한값은 다음과 같이 표기합니다:
"...극한값.""...함수 f의..."limx3f(x)"x가 3에 가까워질 때..."\begin{aligned} \scriptsize\text{"...극한값."}&\qquad\scriptsize\text{"...함수 }f\text{의..."} \\ \searrow\qquad&\qquad\swarrow \\ \LARGE\displaystyle\lim_{x\to 3}&\LARGE f(x) \\ \nearrow\qquad \\ \scriptsize\text{"}x\text{가 }3\text{에 가까워질 때..."} \end{aligned}
limit이라는 표기는 무언가의 극한값이라는 의미입니다.
limit의 오른쪽에는 극한을 가지는 식이 위치합니다. 이 경우에는, 함수 f가 위치하게 됩니다.
limit 아래에 위치하는 x, \to, 3이라는 표기는 x3에 가까워질 때의 f의 극한값이라는 의미입니다.
연습문제 2
이것이 f의 그래프입니다.
limit, start subscript, x, \to, 6, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis의 합리적인 추정값은 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:
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연습문제 3
x5에 가까워질 때 x, squared의 극한값을 나타내는 식은 무엇인가요?
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

극한을 가질 때, 무한하게 가까워지게 만들기

"무한하게 가깝다"는 것은 어떤 의미일까요? x값이 3에 아주 가까워질 때 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2의 값을 살펴봅시다. (기억하세요: 극한을 다루고 있기 때문에 f, left parenthesis, 3, right parenthesis 자체는 상관이 없습니다.)
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
2, point, 94, point, 9
2, point, 994, point, 99
start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 3, 에, space, end text, 가, 까, 움, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 5, 에, space, end text, 가, 까, 움, end subscript, end color gray
x값이 3보다 작지만 점점 더 가까워질수록, f의 값이 점점 5에 가까워진다는 것을 볼 수 있습니다.
xf, left parenthesis, x, right parenthesis
3, point, 15, point, 1
3, point, 015, point, 01
start color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 3, 에, space, end text, 가, 까, 움, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 5, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 5, 에, space, end text, 가, 까, 움, end subscript, end color gray
또한 x값이 3보다 크지만 점점 더 가까워질수록, f5에 점점 가까워진다는 것을 볼 수 있습니다.
5에 가장 가까워졌을 때는 f, left parenthesis, 2, point, 999, right parenthesis, equals, 4, point, 999f, left parenthesis, 3, point, 001, right parenthesis, equals, 5, point, 001이었으며, 이는 5에서 0, point, 001만큼 떨어져 있습니다.
원한다면 더 가까워질 수도 있습니다. 예를 들어, 5에서 0, point, 00001만큼 떨어져 있고 싶다면, x, equals, 3, point, 00001을 선택하여 f, left parenthesis, 3, point, 00001, right parenthesis, equals, 5, point, 00001이 되게 할 수 있습니다.
이는 끝없이 계속할 수 있습니다. 5에 얼마든지 더 가까워지는 것도 가능합니다. 이것이 바로 "무한하게 가까워진다"는 것의 의미입니다! 현실에서는 "무한하게 가까워지는" 것은 불가능하므로, limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5가 뜻하는 것은 5에 얼마나 가까워지고 싶던 간에, 그것을 가능하게 해주는 3에 아주 가까운 x값이 존재한다는 것입니다.
이것이 이해하기 어렵다면, 다음 설명이 도움이 될 수도 있습니다: 무한히 많은 정수가 있다는 것을 어떻게 알까요? 모든 정수를 무한대까지 세어본 것도 아닌데 말이죠. 정수가 무한하다는 것을 알 수 있는 이유는, 어떤 정수이던 항상 그보다 더 큰 정수가 있기 때문입니다. 아무리 큰 정수도 그보다 더 큰 정수가 있고, 그 정수보다 더 큰 정수도 있습니다.
극한에서는 무한히 커지는 것이 아니라, 무한히 가까워지는 것이 목적입니다. limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 5가 뜻하는 것은 5에 언제나 더 가까워질 수 있다는 사실입니다.
연습문제 4
xg, left parenthesis, x, right parenthesis
minus, 7, point, 16, point, 32
minus, 7, point, 016, point, 1
minus, 7, point, 0016, point, 03
minus, 6, point, 9996, point, 03
minus, 6, point, 996, point, 1
minus, 6, point, 96, point, 32
limit, start subscript, x, \to, minus, 7, end subscript, g, left parenthesis, x, right parenthesis의 합리적인 추정값은 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

다른 예: limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared

limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared을 분석해 봅시다. 이는 x2에 가까워질 때 x, squared의 극한값입니다.
함수 y = x제곱을 그래프로 그렸습니다. x축은 -4에서 6까지 이어집니다. 그래프는 곡선으로 이루어져 있습니다. 곡선은 포물선이며, 이는 (-3, 9)에서 시작해서, (-1, 1)을 지나 아래로 움직여 (0, 0)에 도달한 후, (1, 1)을 지나 위로 움직여 (3, 9)까지 이어집니다.
그래프에서 x, equals, 2인 지점에 가까워질수록 y값이 4에 가까워진다는 것을 볼 수 있습니다.
y = x제곱의 그래프는 다음에서 (1.5, 2.25)에서 (1.99, 3.96)까지 이어진 곡선을 따라 위로 움직인 후, (2.5, 6.25)에서 (2.01, 4.04)까지 이어진 곡선을 따라 아래로 움직이는 점으로 나타납니다.
Geogebra가 만듦
다음 표를 살펴봅시다:
xx, squared
1, point, 93, point, 61
1, point, 993, point, 9601
start color gray, start underbrace, start color black, 1, point, 999, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 2, 에, space, end text, 가, 까, 움, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 3, point, 996001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 4, 에, space, end text, 가, 까, 움, end subscript, end color gray
xx, squared
2, point, 14, point, 41
2, point, 014, point, 0401
start color gray, start underbrace, start color black, 2, point, 001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 2, 에, space, end text, 가, 까, 움, end subscript, end color graystart color gray, start underbrace, start color black, 4, point, 004001, end color black, end underbrace, start subscript, start text, 4, 에, space, end text, 가, 까, 움, end subscript, end color gray
4에 얼마든지 가까워질 수 있다는 것을 볼 수 있습니다. 4보다 0, point, 001만큼 작은 값이 필요하다고 합시다. x, equals, 2에 가까운 어느 x값을 선택하면 될까요?
x, equals, 2, point, 001을 시도해 봅시다:
2, point, 001, squared, equals, 4, point, 004001
이는 4보다 0, point, 001 이상 큽니다. 좋습니다, 이번에는 x, equals, 2, point, 0001를 시도해 봅시다:
2, point, 0001, squared, equals, 4, point, 00040001
이번에는 충분히 가깝네요! x, equals, 2에 더욱 가까운 x값들을 시도해 봄으로써, 4에 더욱 가까워질 수 있습니다.
결론적으로, limit, start subscript, x, \to, 2, end subscript, x, squared, equals, 4입니다.

극한값은 양쪽 방향에서 같아야 합니다.

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 2limit, start subscript, x, \to, 3, end subscript, f, left parenthesis, x, right parenthesis로 돌아와 보면, x값이 3을 향해 증가하건(이를 "왼쪽으로부터 가까워진다"고 합니다) 3을 향해 감소하건(이를 "오른쪽으로부터 가까워진다"고 합니다) 5를 향해 가까워진다는 것을 볼 수 있습니다.
함수 f를 그래프로 그렸습니다. x축은 0에서 9까지 이어집니다. 그래프는 (0, 2)에서 시작해서 (2,4)와 (4, 6)을 지나 위로 올라갑니다. (3, 5)를 향해 위를 가리키는 화살표는 왼쪽으로부터 가까워진다는 것을 의미합니다. (3, 5)를 향해 아래를 가리키는 화살표는 오른쪽으로부터 가까워진다는 것을 의미합니다.
함수 h를 예로 들어봅시다. xx, equals, 3에 가까워질수록 다가가는 y값은 왼쪽 혹은 오른쪽에서 가까워지냐에 따라 달라집니다.
함수 h를 그래프로 그렸습니다. x축은 0에서 9까지 이어집니다. 그래프는 2개의 선으로 이루어져 있습니다. 첫 번째 선은 (0, 1)에서 시작해서 위로 움직여 (3, 4)에 도달합니다. 두 번째 선은 (3, 6)에서 닫힌 원에서 시작해, 위로 움직여 (6, 9)까지 이어집니다.
왼쪽으로부터 x, equals, 3에 가까워질 때, 함수는 4에 가까워집니다. 오른쪽으로부터 x, equals, 3에 가까워질 때, 함수는 6에 가까워집니다.
함수 h는 왼쪽으로부터 가까워진다는 의미의 화살표를 가지며, 이는 첫 번째 선을 따라 오른쪽을 향해 위를 가리키며 (3, 4)의 열린 원까지 이어집니다. 다른 화살표는 오른쪽으로부터 가까워진다는 의미이며, 이는 두 번째 선을 따라 왼쪽을 향해 아래를 가리키며 (3, 6)의 닫힌 원까지 이어집니다.
어떤 극한이 양쪽에서 같은 값을 향해 가까워지지 않으면, 극한값이 존재하지 않는다고 말합니다.
연습문제 5
다음이 함수 g의 그래프입니다.
어떤 극한이 존재하나요?
해당하는 답을 모두 고르세요:
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