극한이란?

극한이 무엇인지 이해하기 위해, 예제를 하나 살펴봅시다. 함수 $f(x)=x+2$‍를 가지고 시작해 봅시다.

$x=3$‍에서 $f$‍의 극한값은 $x=3$‍에 점점 가까워질수록 $f$‍가 갖는 값입니다. 그래프를 통해서 봤을 때, 이는 $f$‍의 그래프를 따라 $x=3$‍에 다가갈수록 $y$‍가 가까워지는 값입니다.

예를 들어, 점 $(1,3)$‍에서 시작해서 그래프를 따라 $x=3$‍에 아주 가까이 다가간다면, $y$‍값(즉, 함수값)은 $5$‍에 아주 가까워집니다.

같은 맥락에서, 만약 $(5,7)$‍에서 시작해서 왼쪽으로 움직여 $x=3$‍에 아주 가까이 다가간다면, $y$‍값은 아까와 같이 $5$‍에 아주 가까워집니다.

이러한 이유로, $x=3$‍에서 $f$‍의 극한값은 $5$‍라고 할 수 있습니다.

$x=3$‍에서 $f$‍가 가지는 극한값과 $x=3$‍에서 $f$‍가 가지는 값, 즉 $f(3)$‍가 어떻게 다른지 궁금할 겁니다.

네, $x=3$‍에서 $f(x)=x+2$‍의 극한값은 $f(3)$‍과 같지만, 항상 이런 것은 아닙니다. 이를 이해하기 위해, 함수 $g$‍를 살펴봅시다. 이 함수는 $x=3$‍에서 정의되지 않았다는 점만 빼면, $f$‍와 같은 함수입니다.

$f$‍와 같이, $x=3$‍에서 $g$‍의 극한값은 $5$‍입니다. 이는 $x=3$‍에 아주 아주 가까워지는 것은 여전히 가능하며, 이에 따라 함수값은 $5$‍에 아주 아주 가까워지기 때문입니다.

따라서 $x=3$‍에서 $g$‍의 극한값은 $5$‍이지만, $x=3$‍에서 $g$‍의 값은 정의되지 않습니다! 이는 서로 다릅니다!

이것이 극한이 멋진 이유입니다: 극한값은 해당 점에서의 함수의 실제 값과는 상관이 없습니다. 극한값은 함수가 극한에 가까워졌을 때 어떻게 반응하는지를 설명해 줍니다.

극한에 대한 특별한 표기법 역시 존재합니다. $x$‍가 $3$‍에 가까워질 때 $f$‍의 극한값은 다음과 같이 표기합니다:

${\displaystyle lim}$‍이라는 표기는 무언가의 극한값이라는 의미입니다.

${\displaystyle lim}$‍의 오른쪽에는 극한을 가지는 식이 위치합니다. 이 경우에는, 함수 $f$‍가 위치하게 됩니다.

${\displaystyle lim}$‍ 아래에 위치하는 $x\to 3$‍이라는 표기는 $x$‍가 $3$‍에 가까워질 때의 $f$‍의 극한값이라는 의미입니다.

"무한하게 가깝다"는 것은 어떤 의미일까요? $x$‍값이 $3$‍에 아주 가까워질 때 $f(x)=x+2$‍의 값을 살펴봅시다. (기억하세요: 극한을 다루고 있기 때문에 $f(3)$‍ 자체는 상관이 없습니다.)

$x$‍값이 $3$‍보다 작지만 점점 더 가까워질수록, $f$‍의 값이 점점 $5$‍에 가까워진다는 것을 볼 수 있습니다.

또한 $x$‍값이 $3$‍보다 크지만 점점 더 가까워질수록, $f$‍가 $5$‍에 점점 가까워진다는 것을 볼 수 있습니다.

$5$‍에 가장 가까워졌을 때는 $f(2.999)=4.999$‍와 $f(3.001)=5.001$‍이었으며, 이는 $5$‍에서 $0.001$‍만큼 떨어져 있습니다.

원한다면 더 가까워질 수도 있습니다. 예를 들어, $5$‍에서 $0.00001$‍만큼 떨어져 있고 싶다면, $x=3.00001$‍을 선택하여 $f(3.00001)=5.00001$‍이 되게 할 수 있습니다.

이는 끝없이 계속할 수 있습니다. $5$‍에 얼마든지 더 가까워지는 것도 가능합니다. 이것이 바로 "무한하게 가까워진다"는 것의 의미입니다! 현실에서는 "무한하게 가까워지는" 것은 불가능하므로, ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=5}$‍가 뜻하는 것은 $5$‍에 얼마나 가까워지고 싶던 간에, 그것을 가능하게 해주는 $3$‍에 아주 가까운 $x$‍값이 존재한다는 것입니다.

이것이 이해하기 어렵다면, 다음 설명이 도움이 될 수도 있습니다: 무한히 많은 정수가 있다는 것을 어떻게 알까요? 모든 정수를 무한대까지 세어본 것도 아닌데 말이죠. 정수가 무한하다는 것을 알 수 있는 이유는, 어떤 정수이던 항상 그보다 더 큰 정수가 있기 때문입니다. 아무리 큰 정수도 그보다 더 큰 정수가 있고, 그 정수보다 더 큰 정수도 있습니다.

극한에서는 무한히 커지는 것이 아니라, 무한히 가까워지는 것이 목적입니다. ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)=5}$‍가 뜻하는 것은 $5$‍에 언제나 더 가까워질 수 있다는 사실입니다.

${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2}$‍을 분석해 봅시다. 이는 $x$‍가 $2$‍에 가까워질 때 $x^2$‍의 극한값입니다.

그래프에서 $x=2$‍인 지점에 가까워질수록 $y$‍값이 $4$‍에 가까워진다는 것을 볼 수 있습니다.

다음 표를 살펴봅시다:

$4$‍에 얼마든지 가까워질 수 있다는 것을 볼 수 있습니다. $4$‍보다 $0.001$‍만큼 작은 값이 필요하다고 합시다. $x=2$‍에 가까운 어느 $x$‍값을 선택하면 될까요?

$x=2.001$‍을 시도해 봅시다:

이는 $4$‍보다 $0.001$‍ 이상 큽니다. 좋습니다, 이번에는 $x=2.0001$‍를 시도해 봅시다:

이번에는 충분히 가깝네요! $x=2$‍에 더욱 가까운 $x$‍값들을 시도해 봄으로써, $4$‍에 더욱 가까워질 수 있습니다.

결론적으로, ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4}$‍입니다.

$f(x)=x+2$‍와 ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}f(x)}$‍로 돌아와 보면, $x$‍값이 $3$‍을 향해 증가하건(이를 "왼쪽으로부터 가까워진다"고 합니다) $3$‍을 향해 감소하건(이를 "오른쪽으로부터 가까워진다"고 합니다) $5$‍를 향해 가까워진다는 것을 볼 수 있습니다.

함수 $h$‍를 예로 들어봅시다. $x$‍가 $x=3$‍에 가까워질수록 다가가는 $y$‍값은 왼쪽 혹은 오른쪽에서 가까워지냐에 따라 달라집니다.

왼쪽으로부터 $x=3$‍에 가까워질 때, 함수는 $4$‍에 가까워집니다. 오른쪽으로부터 $x=3$‍에 가까워질 때, 함수는 $6$‍에 가까워집니다.

어떤 극한이 양쪽에서 같은 값을 향해 가까워지지 않으면, 극한값이 존재하지 않는다고 말합니다.