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주요 내용

무한대에서 홀수인 제곱근을 포함한 분수의 극한

양의 무한대와 음의 무한대에서 x/√(x²+1)의 극한값을 구해 봅시다. 최고차항이 홀수제곱 (1)이므로 양의 무한대에서의 극한값과 음의 무한대에서의 극한값은 다릅니다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

f(x)를 √(x²+1) 분의 x라고 합시다 x가 무한대에 접근할 때 f(x)의 극한은 어떻게 될까요? x가 음의 무한대로 갈 때 f(x)의 극한은 어떨까요? 이 극한들을 다루어 봅시다 정확한 값을 찾지는 않을 것입니다 대신 x가 계속 커질 때의 극한값을 알아보겠습니다 x의 부호와는 관계 없습니다 양의 무한대와 음의 무한대 모두 절대값이 무한히 크기 때문입니다 분자는 일차식이지만 분모는 이차식의 제곱근입니다 x의 절대값이 무한히 커지면 이차항이 분모를 좌우할 것입니다 x가 백만일 때 분모의 값은 이차항에 의해 크기가 결정됩니다 즉 근사적으로 √x² 분의 x와 같을 것입니다 x가 매우 크므로 1은 영향이 거의 없습니다 수학적인 상식을 이용해 √x²를 다르게 표현해 봅시다 제곱을 한 후 루트를 취하면 루트는 양의 제곱근을 의미하므로 곧 |x|이 됩니다 |x| 분의 x와 같아지죠 x가 양이나 음의 무한대로 갈 때입니다 즉 식을 다음과 같이 고칠 수 있습니다 x가 무한히 커질 때 |x| 분의 x의 극한값이 됩니다 x가 양수일 때 위 분수는 x분의 x이므로 극한값은 1입니다 비슷하게 x가 무한히 작아질 때에도 역시 |x| 분의 x가 됩니다. 이렇게 바꿔쓸 수 있는 이유는 x가 무한히 크거나 무한히 작을 때 두 값이 비슷해지기 때문입니다 x가 음수일 때 위 값은 -1 입니다 알아낸 사실들을 바탕으로 그래프를 그려보겠습니다 우선 두 축을 그려줍니다 우선 두 축을 그려줍니다 2개의 수평 점근선이 있습니다 y=1 점근선이 오른쪽에 그려질 것입니다 점선으로 그립시다 이 선에 접근하죠 다른 점근선 y=-1을 가집니다 왼쪽에 그려질 것입니다 지나는 점들을 찾기 위해 f(0)의 값을 알아봅시다 분자는 0이고 분모는 1이 되므로 f(0)은 0입니다 원점을 지남을 알 수 있습니다 x가 무한대로 가면 파란 점선에 접근합니다 다음처럼 그려집니다 x가 커질수록 점근선에 가까워집니다 음의 무한대에서도 점근선에 가까워집니다 y=f(x)의 그래프입니다 더 많은 점들을 계산하거나 그래픽 계산기로 그려볼 수도 있습니다 중요한 사실은 x의 절대값이 커질수록 점근선에 가까워진다는 것입니다 x가 무한대로 갈 때 어떤 항이 지배적인지 파악해야합니다 그에 따라 점근선의 값과 방향이 결정됩니다