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주요 내용

무한대에서 분수의 극한 1

양의 무한대와 음의 무한대에서 (4x⁵-3x²+3)/(6x⁵-100x²-10)의 극한값을 구해 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

f(x)=(4x^5-3x²+3)/(6x^5-100x²-10)이라는 식이 주어져 있습니다 x가 무한으로 접근할 때 f(x)의 극한이 어떻게 되는지 생각해 봅시다 몇 가지 방법이 있습니다 x에 큰 수를 대입해서 어떤 값으로 접근하는지 살펴볼 수도 있고 아니면 앞의 항을 통해서 알 수도 있습니다 앞에 항을 통해서 알아볼 때는 분모와 분자 모두 정말 정말 큰 수여야 합니다 또한 이 조건이 성립하기 위해서는 x가 매우 매우 커야합니다 분자에 초점을 맞춰봅시다 x가 매우 커질 때 분자에 있는 4x^5은 뒤에 있는 다른 항에 비해 비교도 안 될 정도로 훨씬 커집니다 어떤 수의 제곱은 큰 수이지만 어떤 수의 다섯제곱은 그보다 훨씬 빠르게 커집니다 분모에서도 비슷하게 가장 높은 차수인 6x^5이 뒤의 다른 항들에 비해 훨씬 큽니다 계수가 100이든 -100이든 어떤 수를 다섯 제곱한다면 x²보다 훨씬 빠르게 커집니다 따라서 x가 매우 매우 커진다면 이 함수는 4x^5/6x^5으로 근사할 수 있습니다 x가 매우 클 때나 무한으로 접근하는 조건에서 말입니다 어떻게 간단히 할 수 있을까요? x^5/x^5의 식이 있습니다 같이 커지고 있으므로 간단히 소거할 수 있습니다 그러면 2/3이 남습니다 그러면 어떤 사실을 알 수 있습니까? x가 매우 커져서 무한으로 접근하면 나머지 항들이 영향을 거의 미치지 않는다는 사실과 f(x)의 극한이 2/3으로 접근한다는 것을 알 수 있습니다 그래프를 보면서 알맞게 풀었는지 봅시다 y=2/3에서 수평한 점근선이 생기는지 살펴보면 됩니다 그래프를 봅시다 여기 그래프가 있습니다 울프램 알파에서 가져왔습니다 x가 계속 커짐에 따라 f(x)는 2/3 주변의 값으로 수렴하고 있는 것을 볼 수 있습니다 따라서 이 주변으로 수평 점근선을 가지는 것을 볼 수 있습니다 좀 더 깔끔하게 그려보겠습니다 2/3 주변으로 수평 점근선을 가지고 있습니다 여기가 y=2/3이 되는 지점입니다 x가 정말 커질 때 즉 무한으로 갈 때 y의 극한값은 계속해서 2/3에 가까워 지고 있습니다 그래프를 보면 x가 음의 무한으로 접근할 때에도 아래 방향에서 똑같이 2/3으로 접근하는 것을 볼 수 있습니다 따라서 우리는 x가 음의 무한으로 갈 때 f(x)의 극한은 마찬가지로 2/3이라고 할 수 있습니다 같은 논리를 적용해서 x가 정말 매우 작은 음수가 될 때도 즉 수직선상에서 계속해서 왼쪽으로 움직일 때도 수식에 영향을 미치는 항들은 4x^5과 6x^5이 됩니다 매우 큰 x에 대해서 이는 사실입니다 매우 작은 x가 될 때도 맞습니다 따라서 x가 음의 무한으로 접근할 때도 이는 사실입니다 그리고 x^5/x^5은 소거됩니다 이들은 지배적인 항입니다 그리고 이는 2/3과 같다는 것을 얻었습니다 다시 한 번 더 그래프에서도 보면 y=2/3에서 수평 점근선을 볼 수 있습니다 x가 무한으로 접근할 때 f(x)의 극한은 2/3이라는 사실을 얻을 수 있습니다 x가 음의 무한으로 접근할 때 f(x)의 극한 또한 -2/3입니다 일반적인 상황에서 여러분들이 이런 문제를 풀 때는 어떤 항이 나머지 항들에 대해 지배적인지 생각해야합니다 그리고 지배적인 항에 초점을 맞추면 됩니다