If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용

무한대에서 같은 극한을 가지는 함수

무한대에서의 극한은 함수의 형태를 나타내지만 유일한 것이 아닙니다. 많은 함수들이 무한대에서 같은 값을 가질 수 있습니다.

동영상 대본

이번 영상의 목표는 x가 무한대에 가까워질 때 여러 개, 심지어는 무한한 숫자의 같은 극한값을 가진 함수들이 존재할 수 있다는 것을 배우는 것입니다 이러한 일반적인 명제를 세운다고 해 봅시다 x가 무한대에 가까워질 때 어떤 함수 f(x)의 극한값이 3이다 이번 영상에서는 해당 명제의 예를 몇 가지 들어보려고 합니다 그리고 해당 명제가 성립하는 무한한 숫자의 예제들이 존재한다는 것을 증명하려고 합니다 예를 들어 이 그래프를 살펴봅시다 다른 영상에서 왜 이러한 현상이 일어나는지 다루겠지만 지금으로써는 x값이 아주 커질 때 어떤 일이 일어나는지에 대해 생각해 봅시다 x값이 아주 커지면 이 5가 더해지더라도 별로 영향이 없습니다 따라서 3x²/x²에 함수값이 점점 가까워지는데 이는 3과 같습니다 여기에 보이는 초록색 그래프에서도 이를 볼 수 있습니다 보시다시피 x가 10일 때도 함수값이 3에 정말 가까워져 있습니다 화면을 좀 더 축소하여 축을 볼 수 있게 해 보죠 여기가 3입니다 점선을 그려 점근선을 표시해 볼게요 y는 이 지점에서 3이므로 x가 무한대에 가까워지면서 함수값이 3에 가까워지는 것을 볼 수 있습니다 하지만 이러한 현상이 이 함수에서만 나타나는 것은 아닙니다 계속 강조했듯이 같은 현상을 무한한 숫자의 다른 함수들에서도 볼 수 있습니다 자연로그를 포함한 신기한 모양의 이 함수를 살펴봅시다 이 함수 역시 x가 무한대에 가까워지면서 함수값이 3에 가까워지고 있습니다 초록색 함수에 비하면 함수값이 3에 가까워지는 속도가 느리긴 하지만 무한대에 수렴하는 극한인 만큼 그것은 중요하지 않죠 x가 무한대에 가까워지면서 함수값이 3에 가까워집니다 다른 영상에서도 이야기했듯이 점근선을 중심으로 파동을 가지는 함수들도 있을 수 있습니다 x값이 커지면서 함수값이 특정 값에 가까워지기만 하면 됩니다 예를 들면 이 함수가 있죠 확대해 보겠습니다 x가 14라고 합시다 세 곡선 모두 3을 향해 가까워집니다 보라색 곡선은 3을 중심으로 파동을 일으키며 다른 곡선 두 개는 아래로부터 3에 가까워집니다 x값이 이보다 훨씬 더 커지게 되면 화면을 축소시킨 다음 다시 확대해 볼게요 x값이 아주 커졌을 때를 고려해 봅시다 무한대의 관점에서 보면 100조차도 그리 큰 값은 아닙니다 무한대의 관점에서는 1조도 그리 큰 값은 아니죠 일단 200으로 가 봅시다 여태까지 다뤘던 숫자들에 비하면 200은 큰 숫자입니다 x값이 200일 때로 이동해 확대해 봅시다 보시다시피 정말 확대를 많이 해야 합니다 그래프 곡선이 점근선과 나눠지는 것을 보려면 말이죠 확대율을 보면 알겠지만 정말 많이 확대한 상태입니다 각 정사각형은 이제 1/1000 단위입니다 따라서 우리는 점근선에 훨씬 더 많이 가까워졌습니다 이만큼 확대했는데도 초록색 곡선은 점근선과 겹쳐 보입니다 이렇게 각 값을 볼 수 있는데 소수점 서너 자리까지 내려갔네요 3에 정말 많이 가까워졌지만 그렇다고 해서 3이 된 것은 아닙니다 초록색 곡선이 가장 빨리 가까워졌지만 말입니다 이러한 예제를 보여준 목적은 아까 이야기했던 명제를 성립시키는 함수들이 무한히 존재한다는 사실을 알려주기 위함입니다 x가 무한대에 가까워질 때 함수의 극한값 이 경우에는 극한값을 3으로 정했고 그러한 함수 중 아무거나 세 개를 골랐습니다 이것은 어떤 함수에서도 성립할 수 있습니다 얼마나 확대했는지 모르겠네요 이제 원래의 식이 있었던 원점으로 돌아가 봅시다 이제 이쪽으로 확대해 봅시다 여기 있네요 이 함수들 모두가 x가 무한대에 가까워질 때 3의 극한값을 가집니다