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주요 내용

유리수 함수의 무한 극한 알아보기

점근선 x=1 근방에서 f(x)=-1/(x-1)²의 형태를 알아봅시다.

동영상 대본

f(x)를 -(x-1)² 분의 1 이라고 합시다 f(x)를 -(x-1)² 분의 1 이라고 합시다 f의 x가 1로 갈 때 한쪽 극한을 고르세요 보시다시피 많은 선택지가 있습니다 오른쪽에서 x로 다가가고 있기도 하고 왼쪽에서 x로 다가가고 있기도 합니다 그리고 이제 우리는 이 선택지들이 두 방향에서 양의 또는 음의 무한대로 발산하는지 알아내려 합니다 알아내는 방법에는 여러가지가 있습니다 가장 간단한 방법은 각각 분리해서 알아보는 것입니다 그러므로 f(x)의 극한의 x가 양의 방향에서 1로 다가갈 때와 f(x)의 극한의 x가 음의 방향에서 1로 다가갈 때를 생각해 볼 수 있습니다 이것은 우측에서 다가가는 것이고 이것은 좌측에서 다가가는 것입니다 그럼 각각 다른 방향에서 1로 다가갈때 여러 값들을 시도해 보겠습니다 x와 f(x)를 쓰고 옆쪽에도 똑같이 써 보겠습니다 x와 f(x)가 이렇게 있습니다 이쪽 표에서는 1의 오른쪽에서 다가가 본다면 즉 1보다 큰 쪽에서 다가가 본다면 1.1을 시도해보고 1.01도 시도해보면 될 것입니다 f(1.1)은 -(1.1-1)²분의 1입니다 그러므로 분모는 (0.1)²이 되죠 즉 0.01이 됩니다 따라서 전체 수치는 -100입니다 여기에 -100을 적도록 하겠습니다 -100입니다 그럼 이번에는 x가 1.01이라면 -(1.01-1)²분의 1이 나옵니다 그럼 이 분모는 (0.01)²이 됩니다 즉 0.0001이자 10000분의 1이죠 그러므로 -10000분의 1이 나오고 이것은 결론적으로 -10,000입니다 그럼 여기 -10,000을 적겠습니다 이러한 과정을 통해 우리가 양의 방향에서 1에 가까워질수록 즉 1보다 큰 쪽에서 점점 1에 가까워질수록 음의 무한대로 발산하고 있음을 알 수 있습니다 결론적으로 이것은 음의 무한대인 것 같네요 지금까지 한 방식을 왼쪽에도 그대로 적용할 수 있습니다 0.9를 넣어보고 0.99도 넣어볼 수 있겠죠 0.9의 경우 또한 -100이라는 값이 나올 것입니다 왜냐하면 0.9-1을 계산하면 -0.1이 나오는데 이것을 제곱하면 마이너스는 사라지므로 양수값인 0.01이 나오고 1을 이것으로 나누면 100이 나옵니다 하지만 결국 맨 앞에 마이너스가 있으므로 -100이 됩니다 그리고 만약 이 계산이 이해가 안 된다면 제가 해 보겠습니다 좀 더 이해하기 쉽도록 한 번 더 보여줄게요 이건 -1을 나누는 것인데 지금 x값이 0.99이므로 왼쪽 방향에서 즉 작은쪽에서 1에 가까워지고 있는 것이죠 그럼 이건 -(0.99-1)²이 나옵니다 0.99-1은 -100분의 1이므로 이것은 (-0.01)²이 됩니다 이것을 제곱하면 마이너스는 사라지므로 10000분의 1이 나오게 되고 이것은 0.0001이 됩니다 이것의 수치를 구하면 10,000을 얻게 됩니다 아 미안합니다 -10,000을 얻게 되는 것이죠 두 가지 경우 모두 어느 방향에서 접근하든지 음의 무한대로 다가가게 됩니다 따라서 맞는 선지는 이것입니다 다른 방식으로도 이 문제를 다루어 볼 수 있는데 만약 이 수식의 구조를 살펴본다면 분자는 상수이므로 언제나 양수임이 확실합니다 당분간 이 마이너스 부호는 무시하도록 합시다 이 마이너스는 앞쪽에 있으니까요 이 분자는 항상 양수입니다 아래쪽을 살펴보면 x가 1이라고 보았을 때는 분모가 0이 되고 전체 수식은 정의될 수 없습니다 하지만 x가 1로 다가간다고 보면 x-1은 이 표에서 볼 수 있듯이 양수일수도 음수일수도 있습니다 하지만 이것을 제곱하면 이 또한 양수가 됩니다 그러므로 분모는 양수가 됩니다 1이 아닌 어떤 x값에서든 말이죠 따라서 양수를 양수로 나누면 양수값이 나오게 됩니다 하지만 앞쪽에 마이너스가 있으므로 최종적으로 음의 부호를 가지게 됩니다 1이 아닌 어떠한 x에서든지 말이죠 사실 x가 1일 때에는 정의될 수 없는 식입니다 그러므로 오직 음의 무한대만 가능하다는 것을 유추할 수도 있었습니다 이 수식에서는 양수의 값을 얻는 것 자체가 불가능하기 때문이죠 커넥트 번역 봉사단 | 이태경