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주요 내용

타원의 방정식과 초점

동영상 대본

타원의 방정식에 대해서 설명해 보겠습니다 a²/x²+b²/y²=1 a가 b보다 크다고 가정해 보겠습니다 a가 b보다 크다고 가정해 보겠습니다 이렇게 하는 이유는 a가 b보다 크다는 것은 짧고 뚱뚱한 타원의 형태를 보여주기 때문입니다 짧은 장축 또는 장축이 수평을 따라 있을 겁니다 단축은 수직을 따라 있을 겁니다 그려보겠습니다 이 타원을 그려보겠습니다 더 두꺼운 타원을 그리고 싶네요 여기 타원을 그렸고 축을 그려야겠네요 여기 수평선을 그리겠습니다 수직선도 그리겠습니다 지금까지 꽤 자세히 타원에 대해 배워왔습니다 b를 아는 이같은 경우에 어떻게 단축을 찾아내는지 이미 알고 있습니다 여기 이렇게 b가 있습니다 이것만이 단축입니다 b가 a보다 작기 때문이죠 만약 b가 a보다 더 크면 b는 장축이 됩니다 어쨌든 당연히 장축은 a입니다 a의 길이가 이만큼입니다 이제 타원의 또다른 아마 가장 재밌을 속성은 타원 위의 어느 곳에서든 점을 찍고 그 점에서부터 두 개의 특별한 점에서 거리를 재면 a가 b보다 크든 작든 a가 b보다 크든 작든 우리는 이 점을 초점 또는 이 타원의 초점이라고 부릅니다 이 두 점은 항상 장축에 따라 있습니다 이 두 점은 항상 장축에 따라 있습니다 이런 경우에 이건 수평의 축이라고 합니다 이 두 점은 타원의 중심에 하여 대칭입니다 그럼 이 두 점 중 이 점을 f1이라고 하고 이 점을 f2라고 하겠습니다 이 점들은 바로 초점입니다 f2 이것이 바로 타원의 가장 재밌고 멋있는 특징인 초점입니다 만약 타원 위의 어느 점을 잡고 각 두 점으로부터의 거리를 재면 이것은 흔히 타원의 정의로 사용됩니다 이 점에서의 거리에 대해 말해 봅시다 이 거리를 d1이라고 하겠습니다 이쪽에 거리를 두고 저 타원 위에 또는 이 특정한 점에 어떤 점을 찍어서 이 두 개의 초점까지 각각의 거리를 측정하고 있는 겁니다 이 거리를 d2라고 하겠습니다 다른 색으로 하겠습니다 다른 색으로 하겠습니다 이게 d2입니다 이 전체의 선이 d2입니다 이 전체의 선이 d2입니다 이 전체의 선이 d2입니다 이 두 개의 거리를 잴 땐 두 거리를 합해야 합니다 d2+d1은 2a와 같다는 것은 변함이 없습니다 타원의 어느 곳을 가든 d2+d1=2a입니다 그 점을 명확히 해 보겠습니다 저는 여러분들께 이 변함없는 거리가 실제로 2a임을 증명해드리겠습니다 여기서 a는 이 식의 a와 같습니다 여러분께서 제가 말하고 있는 것을 이해하는지 확인할 겸 이 타원에 다른 임의의 점을 찍어보겠습니다 여기에 점을 찍어보겠습니다 이 점에서 이 초점까지의 거리를 재려면 이 거리를 d3라고 하겠습니다 그리고 저 초점에서 이 점까지의 거리를 재려면 이 거리를 d4라고 하겠습니다 이 거리를 d4라고 하겠습니다 d4입니다 만약 제가 이 두 거리를 더한다면 여전히 2a와 같을 겁니다 적어보겠습니다 d3+d4는 여전히 2a와 같습니다 깔끔하네요 사실 타원을 각 초점으로부터 거리의 합이 변함없이 일정한 모든 점들의 집합을 그래프로 나타낸 형태의 변함없이 일정한 모든 점들의 집합을 그래프로 나타낸 형태의 자취라는 단어를 때때로 사용하거나 타원을 모든 점들의 집합이라고 말하는 타원의 정의로써 종종 이 식이 사용됩니다 그렇다면 조금 더 알아보겠습니다 타원의 초점을 구하는 방법에 대해 알아보겠습니다 가장 먼저 해야 할 일은 이 거리를 만족하느냐 라는 것이고 만약 만족한다면 거리의 합은 2a가 될 것입니다 초점을 찾아낼 가장 쉬운 방법은 여러분께서 극점이라고 부르는 x축의 이 끝 점과 이 끝 점을 찍는 것입니다 앞서 말했듯 이 끝 점에서부터 이 점까지의 거리를 다른 색깔로 그려 보겠습니다 이 거리와 이 거리의 합은 상수와 같습니다 이 극점을 사용해서 저는 여러분들께 이 상수가 2a와 같다는 것을 보여드리겠습니다 보시죠 알아야 할 것은 이 두 초점이 원점에 대하여 대칭이라는 것입니다 그래서 거리가 어떻든 이 거리와 같게 됩니다 그래서 거리가 어떻든 이 거리와 같게 됩니다 이처럼요 이 두 점이 원점에 대하여 대칭이기 때문입니다 바로 이 거리가 여기 이 거리와 같게 됩니다 물론 우리가 하고 싶은 것은 이 거리와 더 긴 거리의 합을 구하고 싶은 것입니다 음 이 거리 더하기 이 초록색 거리의 합은 무엇일까요 이 짧은 거리가 여기 이 거리와 같기 때문에 이 거리와 초록색 거리를 더하면 -- 써보겠습니다 이 짧은 거리를 g라고 써보겠습니다 g라고 하고 이 긴 거리를 h라고 하겠습니다 만약 이게 g이고 이게 h이면 우린 이 짧은 거리가 g임을 알 수 있습니다 모든 것이 대칭이기 때문입니다 그렇다면 g+h는 무엇일까요 음 이 거리가 g+h와 같습니다 바로 이 타원의 긴 지름의 전체입니다 이게 무엇이라 했죠? 짧은 반지름은 a임을 아니까 이 길이 또한 a입니다 거리 또는 타원 위의 이 점에서 초점까지의 거리와 타원 위의 이 점에서 초점까지의 거리의 합은 g+h와 같고 또는 이 타원의 긴 지름과 같은 이 초록색 부분과도 같습니다 또한 2a와도 같습니다 됐네요 이정도로 충분히 이해하셨길 바랄게요 다음으로 우리가 알아볼 것은 이 초점이 어디에 있는지 알아내는 방법입니다 혹은 이 방정식을 가지고 어떻게 이 두 초점이 무엇인지 알 수 있을까요? 함께 알아 봅시다 우리가 처음 알아낸 것은 어느 곳이든지 이 점들과 함께 쉽게 알 수 있다는 것입니다 하지만 비록 여기 이 점을 잡더라도 괜찮습니다 이 거리와 이 거리의 합은 역시나 2a와 같습니다 그럼 이 거리의 합이 2a와 같다는 정보를 두 초점이 어디에 있는지 알아내는 데에 사용할 수 있습니다 타원을 하나 더 그려보겠습니다 타원을 하나 더 그려보겠습니다 타원입니다 정확하게 하기 위해서 축을 그려야겠죠 그 방정식을 다시 써 보겠습니다 아직 안 잊으셨죠 a²/x²+b²/y²=1 여기 이 점을 잡아봅시다 이 극점들은 항상 무언가를 증명하려고 할 때 요긴하게 쓰입니다 요긴하게 쓰일 수 있습니다 항상이라는 말은 정정할게요 이 두 초점은 타원의 중심에 대하여 대칭입니다 이건 f1이고, 이건 f2입니다 타원이 모든 점들의 자취 또는 모든 점들의 집합이라는 것은 이미 말했고 이 점에서 각 두 초점으로의 거리를 구하고 둘을 더하면 상수를 얻게 됩니다 이 상수가 2a와 같다는 것도 알아냈죠 여기 이 거리와 이 거리를 더하면 2a와 같을 것이라는 것도 알아냈죠 이 거리를 d1, 이 거리를 d2라고 하면 d1+d2 = 2a라는 사실을 압니다 흥미로운 사실은 이 모든게 대칭이라는 겁니다 맞나요? 이 d1의 길이는 d2의 길이와 같습니다 왜냐하면 지금 하고있는 모든 게 대칭이기 때문입니다 이 두 초점의 길이도 대칭입니다 이 거리는 여기 이 거리와 같습니다 이 거리는 여기 이 거리와 같습니다 d1과 d2가 같아야 합니다 할 수 있는 방법은 없습니다 -- 이게 정확히 타원의 중심이 되는 점입니다 이 타원은 y축에 대하여 대칭입니다 d1=d2이라면 그리고 2a와 같다면 d1=a라는 것을 알게 됩니다 d2도 a와 같게 됩니다 점점 심화되고 있습니다 이전에 그렸던 타원에서 이미 생각해 보았던 더 생각해 보아야 할 다른 것은 이 거리는 무엇이냐는 것입니다 이 거리는 짧은 반지름입니다 이미 b라고 배웠죠 물론 이 초점의 길이도 알아볼 것입니다 물론 이 초점의 길이도 알아볼 것입니다 이건 피타고라스의 정리 문제로써 이미 본 적이 있을 겁니다 여기 초점의 길이가 있죠 왼쪽 삼각형 또는 오른쪽 삼각형에서 알아보아야 합니다 전 오른쪽을 볼게요 초점의 길이가 f이고 f라고 부릅시다 f²+b²는 빗변의 제곱인 d2 또는 a의 제곱과 같습니다 f²+b²=a²입니다 b와 a에 대한 훌륭한 방정식을 얻었습니다 이 타원으로부터 주어진 방정식에서 b와 a가 무엇인지도 이젠 압니다 그럼 이제 초점의 길이를 풀어봅시다 초점의 길이인 f²은 a²-b²과 같습니다 그러므로 초점의 길이인 f는 √a²-b²이 됩니다 그러므로 초점의 길이인 f는 √a²-b²이 됩니다 생각보다 식이 복잡하지는 않네요 그리고 직관적으로 이해할 수도 있겠어요 말 그대로 이 두 숫자의 차이를 안 겁니다 어느 쪽이 크든 어느 쪽이 작든 다른 하나로부터의 차로 구할 수 있습니다 둘의 차에 루트를 씌워주면 그게 초점의 길이입니다 그럼 이제 초점의 길이를 묻는 문제에 우리가 이 방법을 적용할 수 있는 지 해 봅시다 우리가 이 방법을 적용할 수 있는 지 해 봅시다 혹은 초점의 좌표를 찾아봅시다 (x-1)²/9+(y+2)²/4=1이라는 타원을 봅시다 (x-1)²/9+(y+2)²/4=1이라는 타원을 봅시다 제일 먼저 그래프를 그려봅시다 재밌겠네요 축을 그리겠습니다 이건 x축이고 이건 y축입니다 그리고 바로 보이죠 이 타원의 중심은 무엇입니까 중심은 (1,-2)입니다 이게 잘 구해지지 않는다면 이전 영상을 복습해 보세요 중심이 1 즉 x=1에 있습니다 y=-2입니다 (1,-2)가 중심입니다 9가 더 크기 때문에 장축은 x축입니다 그렇기 때문에 a²은 9와 같습니다 그럼 a는 3이 됩니다 1, 2, 3으로 가면 1, 2, 3으로 가면 여기일 것이고 1, 2, 3만큼 가면 아니죠 1, 2, 3 1, 2, 3 여기인 거 같네요 1, 2, 3 대략 이쯤이겠네요 그럼 y축에서의 짧은 반지름은 2가 될겁니다 4의 제곱근이죠 그래서 b=2가 됩니다 그러니 두 칸 올라가고 두 칸 내려갑니다 또 이 타원은 다른 색으로 할게요 이 타원은 이렇게 생기게 됩니다 여기서 알아보고 싶은 것은 바로 초점의 좌표입니다 초점은 장축을 따라서 장축 위에 위치해 있습니다 이제 이 초점의 거리를 알아내야 합니다 그럼 중심에서 초점의 길이를 더하거나 빼야 합니다 그렇게 하면 좌표를 알아낼 수 있습니다 제가 방금 막 보여드린 건, 보셨길 바라건대 초점의 길이 또는 이 길이 f는 이 두 숫자의 차에 루트를 씌운 것과 같습니다 이 두 숫자의 차에 루트를 씌운 것과 같습니다 바로 √9-4 입니다 그리하여 초점의 길이는 √5와 같습니다 제가 앞서 보여드렸던 여기 이 점이 타원의 초점이죠 (1,-2)입니다 이 초점의 좌표는 그럼 (1+√5,-2)입니다 그리고 옆에 이 초점의 좌표는 (1-√5,-2)입니다 제가 한 건 초점의 길이를 구하고 뺀 게 다입니다 두 초점이 x축 또는 장축 위에 나란히 있으므로 저는 여기 이 두 좌표를 구하기 위해 x좌표에서 √5를 더하고 뺀 것입니다 어쨌든 원뿔 곡선 기하학의 정말 깔끔한 이 점은 두 초점의 관계 또는 두 초점의 좌표의 관계에서 이런 흥미로운 특징을 가집니다 다음 영상에선 쌍곡선의 초점이나 포물선의 초점을 보여드리겠습니다 포물선의 초점을 보여드리겠습니다 사실 이건 원뿔 곡선 기하학을 구성하는 것으로 들어서는 시작점일 뿐입니다 오늘 했던 모든 건 원뿔 곡선 기하학의 중심 찾기와 그래프 그리기와 좌표 나타내기의 방법에 대한 것이었습니다 하지만 이제 막 원뿔 곡선 기하학의 수학적 관심 분야에 아주 조금 들어갔을 뿐입니다 어쨌든 다음 영상에서 봅시다 커넥트 번역 봉사단 | 김준호