타원이란?

지난 강의에서 우리는 원에 대해 배웠습니다 그리고 원은 사실 타원의 특별한 경우에 지나지 않습니다 이것이 특별한 경우라고 하는 이유는 원의 경우에는 원의 중심으로부터 항상 같은 거리만큼 떨어져있고 타원의 경우에는 중심으로부터 떨어져있는 거리가 계속하여 변하기 때문입니다 여러분은 타원이 어떤 모양인지 알고 계시죠 제가 첫 번째 동영상에서 보여드렸습니다 이것은 이런 식으로 생겼습니다 제가 뜻하는 것은 반경 혹은 중심으로 부터의 거리가 항상 변한다는 것입니다 이것의 중심이 원점이라고 해봅시다 그러니까 여기가 원점입니다 보시다시피, 우리는 정말로 만약 우리가 타원 위의 이 지점에 있다면 우리는 원점과 정말로 가까운 곳에 있습니다 이것은 실제로 우리가 다다를 수 있는 가장 가까운 점입니다 여기 아래에서 도달할 수 있는 것과 같은 정도로 가깝죠 그리고 우리가 이 지점에 있을 때는 우리는 원점에서 정말로 멀리 떨어져 있으며 우리가 갈 수 있는 가장 먼 지점입니다 그러므로 원은 이것의 특별한 경우인데 왜냐하면 원의 경우에는 우리가 원점으로부터 가장 멀리 갈 수 있는 거리와 가장 가까이 갈 수 있는 거리가 같기 때문입니다 혹은 다시 말해서, 우리는 원점에서부터 항상 정확히 같은 거리만큼 떨어져 있습니다 이것을 알아두고 이제 조금 더 수학적으로 접근해 봅시다 그러니까 원점을 중심으로 하는 타원의 일반적인 혹은 표준 형식은 다음과 같습니다 a 제곱 분의 x 제곱 더하기 b 제곱 분의 y 제곱은 1 이때 a와 b는 아무 수라도 될 수 있습니다 이것을 c제곱과 d제곱으로도 쓸 수 있습니다 그러니까 이것들은 그냥 기호라는 뜻이죠 여러분이 이것이 무슨 뜻인지 감을 잡으실 수 있도록 만약에 이것이 우리가 지금 궁금해하는 타원이라고 하면 a는 x 방향의 반경입니다 기억해두세요 a 제곱이 여기 분모에 있습니다 그러므로 여러분이 분모에 있는 수가 무엇이든지 그것의 제곱근을 취하면 a는 x방향의 반경이 됩니다 그러니까 지금 여기 있는 그림 우리가 그린 그래프에서 이 부분의 거리는 이 거리가 a입니다 혹은 여기 있는 이 지점에서 우리가 중심을 원점으로 했기 때문에 이 지점의 x 좌표는 a와 같고 y 좌표는 0이 됩니다 물론 여기 있는 점도 a만큼 떨어져 있기 때문에 이 점은 (-a, 0)이 됩니다 그러면 y 방향의 반경은 여기있는 이 부분의 반경은 b입니다 그러니까 이 점의 x 좌표는 0이고 y 좌표는 b입니다 같은 방법으로 여기 있는 이 점에서는 x 좌표는 0 y 좌표는 -b입니다 그리고 제가 이것을 그린 방식에서는 이 타원은 키가 작고 뚱뚱한 형태를 가지는데 여러분 또한 키가 크면서 날씬한 타원도 그릴 수 있습니다 그런데 키가 작고 뚱뚱한 타원에서 짧은 쪽의 방향은 단축이라고 부릅니다 그리고 b는 저는 항상 정확한 용어를 잊어버리고는 하지만 여러분은 b를 타원의 단반경이라고 부르거나 단축 길이의 절반이라고 부를 수 있습니다 그리고 그 단어는 어디에서 왔을까요? 만약에 이 부분 전체가 단축이면 여러분은 이것을 이 타원의 단축 지름이라고 여러분은 이것을 이 타원의 단축 지름이라고 부를 수 있습니다 이 전체가 단축의 지름이면 이것을 짧은 지름이라고 부를 수 있는데 왜냐하면 이것이 이 타원의 모든 지름 중에 가장 짧은 것이기 때문입니다 그리고 반은 그것의 절반이죠 b는 짧은 반지름이 됩니다 그것은 이 예시에서는 b입니다 그건 그저 제가 이 타원을 그렸을 때 b가 a보다 작게 그렸기 때문입니다 만약 b가 a보다 컸다면 이것은 키가 크고 날씬한 타원이 되겠죠 실제로 하나 그려보겠습니다 이런 모양이 될 거예요 이런 모양의 타원을 그릴 수도 있습니다 이 경우에는 갑자기 b가 긴 반지름이 됩니다 왜냐하면 b가 a보다 클테니까요 이것은 넓기보다는 위쪽으로 길겠죠 그런데 그래프를 너무 복잡하게 그리지 맙시다 이 경우에 a가 뜻하는 길이는 아마 짐작하시겠지만 a가 뜻하는 길이는 장반경이 됩니다 혹은 여러분은 긴 반지름이라고도 부를 수 있습니다 제 생각에 이것이 좀 더 이해하기 쉬운 것 같네요 그리고 여러분은 이 부분은 짧은 반지름이라고 부를 수 있습니다 이제 예제를 풀어 봅시다 제 생각에 실제 숫자가 들어있는 예제를 풀면 조금 더 명확해질 것 같네요 그러면 제가 여러분에게 다음을 가져갔다고 해봅시다 만약에 제가 9분의 x제곱 더하기 25분의 y제곱이 1이라고 했다고 하면 그러면 x 방향의 반지름은 무엇일까요? 이것이 x 방향 반지름의 제곱이죠 그러니까 x 방향의 반지름은 만약에 이것을 그냥 위의 형식대로 나타내면 우리는 a가 3과 같다고 할 수 있을 거예요 왜냐하면 이것은 제곱이니까요 그리고 이 부분도 나타내면 이것이 b 제곱이니까 b는 5와 같습니다 그러니까 이것을 그래프로 나타낸다면 이번에도 중심은 원점에 있습니다 먼저 타원을 그려보죠 그러니까 제일 먼저 y 방향의 반지름이 x 방향 반지름보다 더 크겠네요 타원은 키가 크면서 날씬한 모양이 될 것입니다 이런 모양이 될 거예요 축을 그려서 이것이 x 축과 y 축이 되도록 하겠습니다 이 부분이 y 방향의 반경입니다 그러니까 이 부분의 거리가 5가 되고 이 부분의 거리도 같습니다 그리고 이것이 x 방향의 반경이죠 그러니까 이 부분이 3이고 이것도 3이 됩니다 바로 이것입니다 이제 여러분은 이 타원을 그렸습니다 별로 특별할 것은 없습니다 그리고 원이 타원의 특별한 경우라는 것을 잘 이해하기 위해 조금 더 살펴보죠 지난 영상에서 우리가 배운 원의 방정식은 x 제곱, 원의 중심이 원점이라고 하면요 x 제곱 더하기 y 제곱은 r 제곱이라고 했습니다 그래서 우리가 양 변을 r 제곱으로 나누면 우리가 얻는 식은 이건 그냥 대수적인 변환인데요 r 제곱 분의 x 제곱 더하기 r 제곱 분의 y 제곱은 1이 됩니다 이제 이 경우에 a가 r이 되고 b도 그렇습니다 그러니까 여러분의 짧은 반지름이 r이고 긴 반지름도 r이 되는 것입니다 혹은 다른 말로 하자면 이 거리와 저 거리가 같다는 말이 되고 그러므로 이것은 키가 작지도 크지도 않고 뚱뚱하지도 날씬하지도 않은 모양이 되겠죠 완전히 둥근 모양이 될 것입니다 그리고 이것이 원이 타원의 특별한 경우인 이유입니다 이제 여러분께 조금 더 복잡한 형태를 보여드리겠습니다 아마도 여러분이 시험에서 보게 될 형태일 것입니다 하지만 저는 여러분께 이것이 단지 위치를 옮긴 것에 지나지 않음을 보여드리고자 합니다 우리가 이 타원을 옮기고 싶다고 해봅시다 우리가 이것을 오른쪽으로 5만큼 옮기고 싶다고 해봅시다 그러니까 원점이 x는 0인 지점에 있는 것이 아니라 이제 원점이 x는 5인 지점에 있는 것입니다 이제 그것을 생각할 수 있는 방식은 이 항이 어떻게 되어야 5를 대입하면 이 항이 0이 될 수 있을까 하는 것입니다 여러분을 위해서 실제로 그려보죠 혼동될 수 있으니까요 만약에 이것을 오른쪽으로 5만큼 옮기면 타원의 새로운 방정식은 9분의 x 빼기 5의 제곱 더하기 25분의 y 제곱은 1이 됩니다 그래서 이 타원을 지금 그려보면 그것은 이런 모양이 됩니다 이전에 그린 것과 거의 흡사한 형태의 타원으로 보이면 좋겠네요 이런 모양이 될 것입니다 그먕 5만큼 옮긴 거예요 그리고 원에 대한 영상에서 우리가 배웠던 직관이 있죠 제가 언급했었는데 그러니까 여러분이 아시는 것은 만약에 x 빼기 무언가를 하면 새로운 원점이 +5라는 뜻이었죠 여러분은 그것을 외워두실 수도 있습니다 여러분은 언제나 이렇게 이해할 수 있습니다 아, 여기에 음수 부호가 있으니까 원점은 여기 있는 숫자에 무조건 음수를 위한 것이 되서 +5가 되겠구나 여러분이 아시다시피 만약에 여기 양수가 있었더라면 반대로 되겠죠 그런데 이것을 정말로 생각하는 방법은 만약에 여러분이 x가 5와 같아지는 지점까지 간다면 x가 5가 되는 순간에, 여기 있는 항 전체 x 빼기 5 부분이 여기에 있는 x와 같이 행동하리라는 것입니다 x가 5일 때, 이 항이 0이 되는데 여기서 x가 0일 때와 같죠 그러니까 x가 5일 때 이 항은 0이고 그러니까 25분의 y 제곱이 1이니까 y는 5가 됩니다 여기서 x가 0이었을 때와 마찬가지로 25 분의 y 제곱이 1이 되어야 하니까 y는 +5나 -5가 됩니다 정말로 여러분께 그 직관을 알려드리고 싶습니다 그리고 이제 이 방정식을 아래로 2만큼 옮기고 싶다고 해봅시다 우리의 새로운 타원은 이런 모양이 되겠죠 여러분은 이것을 대체로 원뿔 곡선에서 배웠습니다 하지만 모든 함수에 대해 성립합니다 여러분이 무언가를 옮길 때 여러분은 이런 방식으로 옮길 수 있습니다 여러분이 그래프를 오른쪽으로 5만큼 옮길 때는 x를 전부 x 빼기 5로 바꾸면 됩니다 그리고 아래로 2만큼 옮길 때는 y를 전부 y 더하기 2로 바꾸면 되죠 그럼 새로운 타원을 먼저 그려보죠 제가 무엇을 하고 있는 건지 여러분께 보여드리기 위해서요 이제 새로운 타원은 이런 모양이 될 것입니다 저는 노란색 타원을 아래로 2만큼 옮겼어요 이제 이 방정식에서 만약에 제가 아래로 옮기면 x는 이전과 같을 겁니다 9분의 x 빼기 5의 제곱 더하기 25분의 y 더하기 2의 제곱이 1과 같습니다 그리고 다시 한번, 이것을 알 수 있는 것은 이제 y가 -2일 때, 이 전체 항이 0이 되기 때문입니다 0이 되는 것은 y가 -2일 때입니다 그리고 이 항이 0일 때는 이쪽 항이 0일 때와 완전히 같게 행동합니다 그러니까 y가 -2일 때, 같은 행동을 보이는데 곡선 위에서 같은 점에 있는 거죠 실제로 여기인데 이 식에서 y가 0일 때 그러니까 이곳과 같죠 그러니까 아예 같은 점에 있는 건 아닙니다 타원 위에서 같은 부분에 있는 거라고 볼 수 있습니다 여기 즉, y의 값이 2일 때 타원의 가장 높은 좌표에 있는 것으로 볼 수 있고 그리고 y의 값이 0, 아니 -2인 여기 있었던 것으로 볼 수 있습니다 이 부분이 -2입니다 그리고 그 이유는 여러분이 여기에 y는 -2를 대입했을 때 이 전체 항이 0이 되기 때문입니다 여기서 y가 0이었을 때와 같죠 너무 복잡하게 만들고 싶지 않습니다 하지만 그냥 정리하는 의미에서 여러분은 어떤 때는 이런 것을 보실 거예요 다음의 그래프를 그리세요 4분의 y 빼기 1의 제곱 더하기 9분의 x 더하기 2의 제곱은 1과 같습니다 그러니까 여러분이 처음으로 말할 수 있는 것은 이것입니다 이건 그냥 4분의 y 제곱 더하기 9분의 x 제곱은 1이라는 타원의 표준형과 비슷합니다 이것과 비슷한 것인데 그냥 위치를 옮긴 것입니다 이것의 원점은 (0,0)인데 이것의 원점은 무엇이죠? 그것은 x는 -2이고 y는 1인 점이겠죠 그러니까 이것을 그래프로 나타낸다면 y 방향의 반지름은 2가 됩니다 2의 제곱이 4와 같죠 x 방향의 반지름은 3입니다 3의 제곱이 9와 같죠 그러니까 x 반지름이 y 반지름보다 실제로 더 크네요 그러니까 이것은 조금 뚱뚱한 모양의 타원이 될 것입니다 실제로 저는 축을 먼저 그려 볼게요 이렇게 한번 그려 보죠 이것이 수직축, 이것이 x 축입니다 그리고 이제 중심은 (-2, 1)에 있습니다 이것이 -2, 그리고 위로 1만큼 올라갑니다 이것이 제가 그릴 타원의 중심입니다 그리고 이제 x 방향으로 이것이 x 항인데 x 반지름은 3이죠 그래서 타원은 3만큼 갑니다 이 방향으로요 이 점이 가장 넓은 지점이고 이 방향으로 3만큼 간 곳이죠 그리고 이제 y 방향으로는 2만큼 갈테고 그러니까 위로 1, 2 만큼 가서 3이 되고 1, 2 만큼 가서 여기가 됩니다 그러니까 그 타원을 그려본다면 제가 할 수 있는 한 최대한 잘 그렸을 때 이런 모양이 될 겁니다 위로 긴 모양 보다는 옆으로 조금 뚱뚱한 형태이고 그 이유는 x 반지름이 y 반지름보다 컸기 때문입니다 이 부분의 거리가 3이고 이 부분의 거리도 3입니다 이 부분의 거리는 2이고 이 부분의 거리도 2입니다 여러분은 이 점들을 구하실 수 있죠 시간 관계 상 지금 모두 하지는 않을 거예요 하지만 여기 있는 점은 (-2, 1)입니다 그러니까 여러분이 여기서 3만큼 더 가면 그러니까 x 방향으로 3을 더하면 그 점은 (1, 1)이죠 만약 여러분이 x 방향으로 3만큼을 뺀다면 이것은 (-5, 1)이 될 것입니다 그리고 여러분은 다른 점들도 구할 수 있을 거예요 여러분께 좋은 연습 문제가 될 것입니다 어쨌든 이것이 타원에 대한 내용의 일부였습니다 향후 영상에서 우리는 더 재미있는 문제를 다뤄보려고 합니다 여러분은 식을 이런 형태로 단순하게 정리해서 그것이 바로 타원을 나타낸다는 것을 알아낼 것입니다