합성으로 역함수인지 확인하기: 아닌 경우

f(x)=2x-3이고 g(x)는 g(x)=1/2x+3 라고 해봅시다 이 비디오에서는 f(g(x))의 값을 구한 다음 g(f(x))의 값을 구해보도록 하겠습니다 먼저 f(g(x))의 값을 구한 다음 다른 쪽을 풀어 보도록 합시다 g(f(x))의 값을 구하기 전에 먼저 f(g(x))의 값을 구해 봅시다 이제 잠시 비디오를 멈추고 직접 풀어 보시기 바랍니다 이걸 풀이해 보면 f(g(x))는 여기 f(x)의 정의에서 x는 입력값이 g(x)이니까 g(x)로 치환하면 2g(x)가 됩니다 2g(x)-3 그리고 2g(x)-3는 자, g(x)를 대입해 봅시다 2(1/2x+3)이 되고 다시 여기서 3을 빼는 겁니다 그리고 이 2를 각각 곱해주면 2와 1/2x를 곱하면 x가 되고 2 곱하기 3은 6이 되니까 x+6-3입니다 x+6-3은 x+3이 됩니다 x+3, 흥미롭지요? f(g(x))의 값을 구했습니다 이제 g(f(x))의 값을 구해봅시다 그러니까 여기 들어갈 x 대신에 f(x)를 대입해 봅시다 그러면 g(f(x))는 우리가 대입한 f(x)의 1/2 1/2f(x)+3이 됩니다 여기 이 x 자리에 다른 값을 대입하는 겁니다 우리가 대입할 값은 f(x)입니다 그러면 1/2 다음에 f(x) 값이 얼마였죠? 2x-3입니다 2x-3를 대입하고 다시 3을 더하면 됩니다 이제 각각 1/2을 곱해 봅시다 1/2 곱하기 2x는 x가 되고 1/2 곱하기 -3은 -3/2가 됩니다 그리고 여기에 3을 더합니다 어디 봅시다 3은 6/2와 같으니까 6/2-3/2는 3/2가 됩니다 그러니까 결국 x+3/2와 같은 값이 됩니다 잘 보시기 바랍니다 우리가 얻은 f(g(x))와 g(f(x))의 값은 분명히 다릅니다 원래 값으로 돌아가지 않았습니다 결과가 다시 x가 되지 않았습니다 그러므로 이 두 함수는 서로 역이 아닙니다 사실 이 둘 중 하나의 값만 구해도 이들이 서로 역이 아니라는 것을 알 수 있습니다 이들은 서로의 역이 아닙니다 이렇게 써 봅시다 f(x)는 g(x)의 역과 같지 않다 그리고 g(x)는 f(x)의 역과 같지 않다 이들이 서로 역이 되려면 여기 x가 있다고 가정해 봅시다 여기에 g를 적용하면 즉, x를 g에 대입하면 g(x)가 되고 이 쪽에 있는 g(x)로 가는 겁니다 이게 g함수입니다 그리고 여기에 f를 적용하면 원래 있던 자리로 가야 합니다 g의 역을 구했을 때 처음 값과 같아야 합니다 하지만 보신 대로 두 값은 같지 않았습니다 x로 돌아간 것이 아니라 x+3이라는 값을 얻었습니다 이쪽도 마찬가지였습니다 우리가 얻은 값은 x로 돌아간 것이 아니라 x+3/2였습니다 그러므로 두 함수는 결코 서로의 역이 될 수 없습니다