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주요 내용

기초 미적분학

코스: 기초 미적분학 > 단원 1

단원 1: 합성함수
수학
기초 미적분학
합성함수와 가역함수
합성함수
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합성함수

구글 클래스룸
예제, 설명, 연습문제를 둘러보고 합성함수를 찾고 확인하는 방법을 배워 봅시다.
두 개의 함수가 주어졌을 때, 한 함수의 함숫값이 다른 함수의 대입값이 되도록 합성할 수 있습니다. 이것이 합성함수를 만드는 방법입니다. 이게 어떤 의미인지 한번 살펴봅시다.

합성함수 풀기

예제

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1과 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2이라면 f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis은 무엇일까요?

풀이

f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis을 푸는 방법 중 하나는 "안에서 바깥으로 푸는" 방법입니다. 이는 먼저 g, left parenthesis, 3, right parenthesis의 값을 구하고 결과를 함수 f에 대입해서 답을 구하는 것입니다.
g, left parenthesis, 3, right parenthesis을 풀어 봅시다.
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   x=3대입=29\begin{aligned}g(x)&=x^3+2\\\\ g(3)&=({3})^3 +2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}x={3} 대입}}\\\\ &={29}\end{aligned}
g, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 29이기 때문에, f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis입니다.
f, left parenthesis, 29, right parenthesis를 풀어 봅시다.
f(x)=3x−1f(29)=3(29)−1               x=29대입=86\begin{aligned}f(x)&=3x-1\\\\ f( {{29}})&=3({29}) - 1~~~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}x= {29} 대입}}\\\\ &={86}\\\\ \end{aligned}
이는 f, left parenthesis, g, left parenthesis, 3, right parenthesis, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, 29, right parenthesis, equals, 86과 같습니다.

합성함수 찾기

위의 예제에서 함수 g에 3을 대입하면 29가 결과로 나왔고, 함수 f에 29를 대입하면 86이 나왔습니다. 3을 대입하면 86이 곧바로 나오는 함수를 찾아봅시다.
f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis를 구하기 위해선 두 함수를 합성해야 합니다.

예제

f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis가 무엇인가요?
참고로 f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1 이며 g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2입니다.

풀이

f, left parenthesis, start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c, right parenthesis를 보면 start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c는 함수 f의 대입값이라는 것을 알 수 있습니다. 함수 f에서 start color #0c7f99, x, end color #0c7f99가 있는 곳에 start color #ca337c, g, left parenthesis, x, right parenthesis, end color #ca337c를 대입해봅시다.
f(x)=3x−1f(g(x))=3(g(x))−1\begin{aligned}f(\blueE x)&=3\blueE x-1\\\\ f(\maroonD{g(x)}) &= 3(\maroonD{g(x)})-1 \\ \end{aligned}
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2이기 때문에 x, cubed, plus, 2를 g, left parenthesis, x, right parenthesis에 대입할 수 있습니다.
f(g(x))=3(g(x))−1=3(x3+2)−1=3x3+6−1=3x3+5\begin{aligned}{f(g(x))}&=3(g(x))-1 \\\\ &=3({x^3+2})-1 \\\\ &=3x^3+6-1\\\\ &=3x^3+5 \end{aligned}
이 새로운 함수에서 3을 대입하면 86이 나올 것입니다. 이를 확인해봅시다.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86\begin{aligned} f( g(x))&= 3x^3+5\\ \\ f( g( 3))&= 3( 3)^3+5 \\\\ &= {86} \end{aligned}
좋아요!

연습문제

연습문제 1

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 1
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, cubed, plus, 2
g, left parenthesis, f, left parenthesis, 1, right parenthesis, right parenthesis을 구해보세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

연습문제 2

m, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 2
n, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
m, left parenthesis, n, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis를 구해보세요.

합성함수: 정의

위 예제에서 합성함수를 구하는 방법을 배웠습니다.
함수 f와 g의 합성을 나타내려면 f, circle, g라고 표기하며, 이를 "f와 g의 합성"이라고 합니다. 이 합성은 다음 규칙을 따릅니다:
left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis
아래의 그림은 left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis와 f, left parenthesis, g, left parenthesis, x, right parenthesis, right parenthesis의 관계를 설명합니다.
이제 이 정의를 배웠으니 다른 문제를 봅시다.

예제

g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, plus, 4
h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x
left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis와 left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis를 구해보세요.

풀이

left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, x, right parenthesis를 다음과 같이 구할 수 있습니다:
(h∘g)(x)=h(g(x))정의=(g(x))2−2(g(x))함수 h의x에 g(x)를 대입합니다=(x+4)2−2(x+4)g(x)에 x+4를 대입합니다=x2+8x+16−2x−8분배=x2+6x+8동류항끼리 묶습니다\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=h(g(x))&\small{\gray{\text{정의}}}\\\\ &=(g(x))^2-2(g(x))&\small{\gray{\text{} \text{함수 } h\text{의} x\text{에 g(x)를 대입합니다}}}\\\\ &=({x+4})^2 -2({x+4})&\small{\gray{ g(x)에 \text{ x+4를 대입합니다}}}\\\\ &=x^2+8x+16-2x-8&\small{\gray{\text{분배}}}\\\\ &=x^2+6x+8&\small{\gray{\text{동류항끼리 묶습니다}}}\end{aligned}
h, circle, g라는 함수가 있기 때문에, x에 minus, 2를 대입하여 left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis를 찾을 수 있습니다.
(h∘g)(x)=x2+6x+8(h∘g)(−2)=(−2)2+6(−2)+8=4−12+8=0\begin{aligned}(h\circ g)(x)&=x^2+6x+8\\\\ (h\circ g)(-2)&=(-2)^2+6(-2)+8\\\\ &=4-12+8\\\\ &=0\\\\ \end{aligned}
h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis를 구해서 left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis를 찾을 수 있습니다. 과정은 아래에서 볼 수 있습니다:
(h∘g)(−2)=h(g(−2))=h(2)        g(−2)=−2+4=2이기 때문에=0             h(2)=22−2(2)=0이기 때문에\begin{aligned}(h\circ g)(-2)&=h(g(-2))\\\\ &=h(2)~~~~~~~~\small{\gray{\text{}g(-2)=-2+4=2\text{이기 때문에}}}\\\\ &=0~~~~~~~~~~~~~\small{\gray{\text{}h(2)=2^2-2(2)=0\text{이기 때문에}}}\\\\ \end{aligned}
아래의 그림은 left parenthesis, h, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis와 h, left parenthesis, g, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, right parenthesis의 관계를 보여줍니다.
여기서 함수 g는 minus, 2를 대입하면 2를 함숫값으로 가지며, 함수 h는 2를 대입하면 0을 함수값으로 가지는 것을 볼 수 있습니다. 함수 h, circle, g는 minus, 2를 대입하면 0을 함숫값으로 가집니다.

문제를 몇 개 연습해 봅시다

연습문제 3

f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, x, minus, 5
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 3, minus, 2, x
left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, 3, right parenthesis을 구해보세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

문제 4와 5에서 f, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, minus, 2이고 g, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, squared, plus, 5라고 합시다.

문제 4

left parenthesis, g, circle, f, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis를 구해 봅시다.

연습문제 5

left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, t, right parenthesis를 구해 봅시다.

심화문제

y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis와 y, equals, g, left parenthesis, x, right parenthesis의 그래프가 아래의 좌표평면에 그려져 있습니다.
다음 중 어떤 보기가 left parenthesis, f, circle, g, right parenthesis, left parenthesis, 8, right parenthesis의 값에 가장 가깝나요?
정답을 한 개 고르세요:

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