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주요 내용

합성함수

예제, 설명, 연습문제를 둘러보고 합성함수를 찾고 확인하는 방법을 배워 봅시다.
두 개의 함수가 주어졌을 때, 한 함수의 함숫값이 다른 함수의 대입값이 되도록 합성할 수 있습니다. 이것이 합성함수를 만드는 방법입니다. 이게 어떤 의미인지 한번 살펴봅시다.

합성함수 풀기

예제

f(x)=3x1g(x)=x3+2이라면 f(g(3))은 무엇일까요?

풀이

f(g(3))을 푸는 방법 중 하나는 "안에서 바깥으로 푸는" 방법입니다. 이는 먼저 g(3)의 값을 구하고 결과를 함수 f에 대입해서 답을 구하는 것입니다.
g(3)을 풀어 봅시다.
g(x)=x3+2g(3)=(3)3+2                   x=3=29
g(3)=29이기 때문에, f(g(3))=f(29)입니다.
f(29)를 풀어 봅시다.
f(x)=3x1f(29)=3(29)1               x=29=86
이는 f(g(3))=f(29)=86과 같습니다.

합성함수 찾기

위의 예제에서 함수 g3을 대입하면 29가 결과로 나왔고, 함수 f29를 대입하면 86이 나왔습니다. 3을 대입하면 86이 곧바로 나오는 함수를 찾아봅시다.
f(g(x))를 구하기 위해선 두 함수를 합성해야 합니다.

예제

f(g(x))가 무엇인가요?
참고로 f(x)=3x1 이며 g(x)=x3+2입니다.

풀이

f(g(x))를 보면 g(x)는 함수 f의 대입값이라는 것을 알 수 있습니다. 함수 f에서 x가 있는 곳에 g(x)를 대입해봅시다.
f(x)=3x1f(g(x))=3(g(x))1
g(x)=x3+2이기 때문에 x3+2g(x)에 대입할 수 있습니다.
f(g(x))=3(g(x))1=3(x3+2)1=3x3+61=3x3+5
이 새로운 함수에서 3을 대입하면 86이 나올 것입니다. 이를 확인해봅시다.
f(g(x))=3x3+5f(g(3))=3(3)3+5=86
좋아요!

연습문제

연습문제 1

f(x)=3x1
g(x)=x3+2
g(f(1))을 구해보세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

연습문제 2

m(x)=3x2
n(x)=x+4
m(n(x))를 구해보세요.

합성함수: 정의

위 예제에서 합성함수를 구하는 방법을 배웠습니다.
함수 fg의 합성을 나타내려면 fg라고 표기하며, 이를 "fg의 합성"이라고 합니다. 이 합성은 다음 규칙을 따릅니다:
(fg)(x)=f(g(x))
아래의 그림은 (fg)(x)f(g(x))의 관계를 설명합니다.
이제 이 정의를 배웠으니 다른 문제를 봅시다.

예제

g(x)=x+4
h(x)=x22x
(hg)(x)(hg)(2)를 구해보세요.

풀이

(hg)(x)를 다음과 같이 구할 수 있습니다:
(hg)(x)=h(g(x))정의=(g(x))22(g(x))함수 hx에 g(x)를 대입합니다=(x+4)22(x+4)g(x) x+4를 대입합니다=x2+8x+162x8분배=x2+6x+8동류항끼리 묶습니다
hg라는 함수가 있기 때문에, x2를 대입하여 (hg)(2)를 찾을 수 있습니다.
(hg)(x)=x2+6x+8(hg)(2)=(2)2+6(2)+8=412+8=0
h(g(2))를 구해서 (hg)(2)를 찾을 수 있습니다. 과정은 아래에서 볼 수 있습니다:
(hg)(2)=h(g(2))=h(2)        g(2)=2+4=2이기 때문에=0             h(2)=222(2)=0이기 때문에
아래의 그림은 (hg)(2)h(g(2))의 관계를 보여줍니다.
여기서 함수 g2를 대입하면 2를 함숫값으로 가지며, 함수 h2를 대입하면 0을 함수값으로 가지는 것을 볼 수 있습니다. 함수 hg2를 대입하면 0을 함숫값으로 가집니다.

문제를 몇 개 연습해 봅시다

연습문제 3

f(x)=3x5
g(x)=32x
(gf)(3)을 구해보세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

문제 4와 5에서 f(t)=t2이고 g(t)=t2+5라고 합시다.

문제 4

(gf)(t)를 구해 봅시다.

연습문제 5

(fg)(t)를 구해 봅시다.

심화문제

y=f(x)y=g(x)의 그래프가 아래의 좌표평면에 그려져 있습니다.
다음 중 어떤 보기가 (fg)(8)의 값에 가장 가깝나요?
정답을 한 개 고르세요: