대수학의 기본 정리

"대수학의 기본정리" 여기에 쓰겠습니다 "대수학의 기본정리" 대수학의 기본정리는 주어진 n차 다항식 P(x)=ax^n+bx^n-1+...+k으로 정의된 n차 다항식에 대해 이 다항식이 정확히 n개의 근을 가진다는 정리입니다 다시 말하면 정확히 n개의 x값에 대해서 이 우변에 있는 식의 값은 0이 됩니다 2차 방정식의 경우를 생각해 보면 이 기본정리가 적용되는 것 같습니다 그래프는 이런 식으로 생겼습니다 y축을 그리고 x축을 그린 다음 2차 방정식이니 포물선을 그립시다 이런 식으로 될 것입니다 이 그래프는 2차함수의 그래프입니다 그리고 여기 두 점에서 함숫값이 0이 된다는 것을 알 수 있습니다 정확히 두 개의 근을 가집니다 대수학의 기본정리의 결과와 같습니다 3차 다항식의 경우에도 y축과 x축을 그린 다음 이렇게 생긴 3차함수의 그래프를 그리면 x축과 하나, 둘, 세 번 만난다는 것을 알 수 있습니다 4차함수는 이런 식으로 생겼으니 하나, 둘, 셋, 네 개의 근을 가집니다 하지만 다시 생각해 보면 이 그래프들이 항상 이런 식으로 생긴 것은 아닙니다 예를 들어, 많은 경우에 우리는 포물선, 즉 2차함수의 그래프가 이렇게 생긴 것을 본 적이 있었습니다 이 그래프는 x축과 만나는 것 같지 않습니다 이 결과는 대수학의 기본정리와 어긋나는 것 같습니다 대수학의 기본정리에 따르면 2차 다항식의 근은 정확히 두 개가 되어야 하기 때문입니다 이것이 핵심입니다 대수학의 기본정리는 우리의 수 체계를 확장시킵니다 우리는 실근 뿐만 아니라 복소수근 역시 고려해야 합니다 특히, 대수학의 기본정리는 이 계수들이 복소수인 경우에도 적용할 수 있습니다 첫 번째 예시들에서 이들은 모두 실근이었습니다 실수는 복소수의 부분집합입니다 그래서 여기서는 두 개의 실근을 가지고 여기서는 세 개의 실근을 가졌으며 오렌지색 함수는 네 개의 실근을 가졌던 것입니다 이 노란색 포물선, 즉 2차 다항식은 실근이 하나도 없으므로 x축과 교점이 없고 두 개의 복소수근을 가질 것입니다 여기 이 그래프는 두 개의 복소수근을 가질 것입니다 실수가 아닌 복소수근 말입니다 실수는 복소수의 부분집합이니까요 이 복소수근들은 항상 쌍으로 존재하는데 이 부분은 다음 영상에서 좀 더 자세히 말씀드리겠습니다 예를 들어, 어떤 3차 다항식이 이런 식으로 생겼다고 가정합시다 이 다항식은 하나의 실근을 가지고 대수학의 기본 정리에 따라서 반드시 두 개의 또다른 근을 가집니다 왜냐하면 이 그래프는 3차니까요 우리는 다항식의 나머지 근들이 실수가 아닌 복소수란 사실을 알 수 있습니다 이제 3차 다항식이 3개의 복소수근을 가지는 경우를 생각해 볼 수 있을까요? 3개의 실수가 아닌 복소수근 말입니다 3차 다항식에서 이게 가능할까요? 답은 불가능하다는 것입니다 다음에 나올 영상들을 보시면 아시겠지만 복소수근들은 항상 쌍으로 나타나기 때문입니다 서로 켤레 관계라고 말합니다 한편, 실근을 가지지 않는 4차 다항식은 존재합니다 예를 들어 이런 형태로 말입니다 이 경우에는 두 쌍의 복소수근 즉 네 개의 실수가 아닌 복소수근을 가지게 됩니다 이 근들을 두 쌍으로 묶으면 각 쌍은 서로 켤레입니다 이 부분은 다음 영상에서 설명드리겠습니다