이차방정식 & 대수학의 기본 정리

이차함수 f(x)=5x^2+6x+5를 생각해 봅시다 대수학의 기본 정리에 따르면 이차다항식이기 때문에 두 개의 근을 가집니다 다시 말해서 f(x)=0이 되는 x의 값은 두 개입니다 잠시 영상을 멈추고 그 두 값을 구해 보세요 이 식이 0이 되도록 하는 x값을 찾는 것은 5x^2+6x+5=0이라는 방정식을 푸는 것입니다 이 식을 인수분해하는 방법은 없는 것 같으니 근의 공식에 대입합시다 근의 공식을 쓰면 이 방정식의 근 x는 -b, 색을 다르게 표시하면 이게 b이고 -6 플러스마이너스 루트 b^2-4<i>a</i>c 이게 분자고 분모는 2a입니다 간단히 정리하면 -6 -- 색깔은 계속 맞춰서 쓰겠습니다 플러스마이너스 루트 이 값은 36 빼기 100이니 -64입니다 분모는 2*5=10입니다 흥미로운 결과가 나왔습니다 루트 안에 음수가 있습니다 다시 말해서, b^2-4ac의 값이 0보다 작습니다 b^2-4ac, 즉 이차다항식의 판별식이 0보다 작습니다 이 부분이 0보다 작을 때 루트 안에는 음수가 들어가고 그 결과는 허수가 됩니다 이 결과는 실근이 아니라 허근이 됩니다 -6 플러스마이너스 8i 제곱근의 개념을 허수를 포함한 복소수 영역까지 확장하면 루트 -64는 8i입니다 분모는 10입니다 다시 쓰면 x의 값은 최대공약수로 약분하면 2로 약분되므로 -3/5 -- -6/10을 약분한 값입니다 플러스마이너스 (4/5)i가 됩니다 두 허근은 x=-3/5+(4/5)i와 x=-3/5-(4/5)i입니다 이 결과는 대수학의 기본 정리와 일치합니다 근이 두 개입니다 실근이 아니지만 대수학의 기본 정리에 의하면 n차 다항식은 n개의 복소수 근을 가집니다 실근이 될 수도, 허근이 될 수도 있습니다 또한 두 근이 켤레 관계라는 것을 확인할 수 있습니다 근의 공식을 살펴보면 이 부분이 0보다 작으면 허수가 되기 때문에 켤레 관계가 된다는 것을 알 수 있습니다 이제 그래프를 그려 실근이 없다는 것을 확인해 봅시다 계산기의 그래프 모드를 사용하겠습니다 y는 저번에 작업했던 내용을 지우고 y=5x^2+6x+5입니다 범위를 적당히 설정하겠습니다 함수에 대해 별로 아는 바가 없으니 적당히 -10에서 10을 정의역으로 한정하고 x축 눈금은 1로 하겠습니다 공역은 굉장히 빨리 증가하는 함수이므로 공역은 100보다 작은 범위로 합시다 y축 눈금은 10으로 하고 y의 최솟값은 x축과 만나지 않는다는 것을 확인하기 위해 -20으로 하겠습니다 그래프를 그려 봅시다 범위를 제대로 골라 그렸네요 그래프가 x축과 만나지 않는다는 것을 볼 수 있습니다 조금 더 확대해 봅시다 잘 안 보이네요 범위를 조금 수정하겠습니다 정의역은 -5부터 5까지로 하고 공역은 -20부터 20으로 한 다음 눈금은 2 간격으로 설정하겠습니다 훨씬 자세히 보입니다 x축과 만나지 않고 실근도 없습니다 하지만 두 개의 허근을 가집니다