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주요 내용

복소수 곱셈 시각화하기

복소수 곱셈이 복소평면에서 어떻게 나타나는지 배워 봅시다.

복소수의 곱셈

이제 복소수의 곱셈을 직교형식과 극형식으로 곱셈을 할 수 있습니다. 특히 극형식은 크기를 곱하고 각도를 더하는 것을 보여줍니다:
=r(cos(α)+isin(α))s(cos(β)+isin(β))=rs[cos(α+β)+isin(α+β)]
복소수의 곱셈을 할 때 극형식으로 나타내어 하는 것의 장점은 시각화에 도움이 된다는 것입니다.
복소평면에서 모든 점들을 복소수 z로 곱하면 어떻게 되나요? 만약 z의 극형태가 r(cos(θ)+isin(θ))라면 위에 있는 식은 평면의 모든 점들에 r을 곱하고 각도 θ만큼 회전을 한다는 것을 의미합니다.

예제

z=3+i=2(cos(30)+isin(30))일 때 z를 곱하는 것은 모든 항을 2로 곱하고 30만큼 회전시키는 것을 의미합니다
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z=13i3에서 z의 절댓값은 다음과 같습니다
(13)2+(13)2=23
그리고 각도가 45이기 때문에 z를 곱하는 것은 모든 항에 230.471을 곱해서 값이 더 작아지는 것이고 45만큼 시계방향으로 회전을 시키는 것과 같습니다.
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z=2일 때 절댓값이 2이고 각도는 180입니다. 이 곱셈은 원점을 기준으로 180도만큼 회전을 시키고 2만큼 늘립니다.
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해당 변환과 복소수의 곱셈에 대해 생각하는 다른 방법은 숫자 1에 마크 다운을 표시하고 z에 마크 다운을 표시합니다. 그리고 z를 곱하는 것이 z1=z이기 때문에 1z가 시작하는 부분으로 끌어 내린다고 생각할 수 있습니다. 물론 z0=0이기 때문에 원점이 고정된 상태에서 말이죠.
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z1=zz0=0을 이용해서 복소수의 곱셈을 시각화하는 것이 신기하지 않나요?

켤레복소수 시각적으로 이해하기

평면에 복소수 z를 곱하고 그 결과에 켤레값 z¯를 곱하는 것이 어떤 결과를 주는지 봅시다:
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z의 각도가 θ이고 켤레값 z¯의 각도가 θ라면 연속해서 곱하면 회전이 없다는 것을 의미합니다. 이는 1에서 시작한 값이 양의 실수축에 있다는 것으로 볼 수 있습니다.
크기는 어떤가요? 두 수 모두 절댓값이 |z|=|z¯|이기 때문에 zz¯로 곱하는 것은 |z||z¯|=|z|2로 곱하는 것과 같습니다.
물론 이는 공식을 사용해서 (a+bi)(abi)=a2+b2=|a+bi|2와 같이 구할 수 있습니다. 하지만 이를 증명하는 것이 좋죠!

복소수의 나눗셈

복소평면의 모든 수를 z로 나누면 어떻게 될까요? z의 각도가 θ이고 절댓값이 r이라면 나눗셈은 곱셈의 반대 역할을 합니다: 이는 모든 각도를 θ만큼 회전하고 1r만큼 곱합니다 (r만큼 줄어듭니다).

예제 1: 3+i로 나누기

각도 3+i30이며 절댓값은 2이기 때문에 모든 각도를 30만큼 시계방향으로 회전합니다. 또 모든 항에 12만큼 곱합니다 (모든 값들이 2배로 줄어듭니다).
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예제 2: 13i3로 나누기

13i3의 각도는 45이고, 절댓값은
(13)2+(13)2=23
따라서 +45만큼 회전을 시키고 322.121만큼 곱하는 것입니다.
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해당 나눗셈은 z 위에 점을 표시하고 1을 나누는 것과 같습니다.

공식과 복소수의 나눗셈 공식의 관계

zw를 계산하기 위해서 z=a+biw=c+di라고 합시다. 저희는 분자와 분모를 w의 켤레복소수인 w=cdi로 곱하는 방법을 배웠습니다.
zw=a+bic+di=a+bic+dicdicdi=(a+bi)(cdi)c2+d2=zw|w|2
다른 말로 w로 나누어 주는 것은 w|w|2를 곱하는 것과 동일합니다. 시각적으로 이를 이해하는 법이 있을까요?
w의 각도가 θ이며 절댓값이 r이라고 합시다. w로 나누려면 θ만큼 회전을 시키고 1r만큼 곱해야 합니다. 켤레값 w의 각도는 w의 반대이기 때문에 w로 곱하는 것은 저희가 원했던 것처럼 θ만큼 회전을 시킵니다. 하지만 w로 곱하는 것은 r을 곱해주기 때문에 r2=|w|2으로 나누어 주어야 합니다.
예를 들어 다음은 1+2i로 바로 나누어 주는 것의 결과를 보여줍니다:
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다음은 수에 켤레값 12i를 곱하고 크기의 제곱값 |1+2i|2=5로 나누어준 결과를 나타냅니다.
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두 결과는 동일합니다.

대화에 참여하고 싶으신가요?

  • 사용자 roh5942ab의 blobby green style 아바타
    칸 선생님께서 복소수 곱셈은 크기는 곱하고 각도는 더한다고 했습니다.
    이것은 결과라고 생각하고 저는 아래와 같이 증명하려고 합니다.(괄호안은 각도)
    -------------------------------아 래-------------------------------
    복소수는 크기와 각도를 가진다.
    곱셈은 피승수에 승수를 곱하는 것이다.
    예를들어 복소평면인 한 점인 피승수 4(45)를 승수 3을 곱하면 12(45)가 되고 이것은 피승수의 각도인 45도를 가진 수의 3배를 곱하는 것이다.
    4(45)* 3(30)는 피승수와 승수의 각도가 틀려 원칙적으로 곱할 수가 없다.
    그러나 어떤 조건을 가정하면 곱할 수 있다.
    복소수의 회전을 기하학적 비례식으로 풀어보자.
    크기가 4이고 각도가 45도인 복소수가 있다.

    피승수 /크기 4

    ,,,,,,,,,/

    ,,/)각도 45도
    ----------------->(승수3)

    복소평면을 30도 회전시킨다고 가정하자.

    크기 /4
    ,,,,,,,,/,,,,,,,,,,,,,,,,/승수크기3
    ,,,,,,/,,,,,,,,,,,,,/
    ,,,,/,,,,,,,,,,/
    ..,/,,,,,,,/
    .,/.,,/)승수각도30도
    /)피승수각도75도
    ------------------>

    피승수 4(45)는 4(75)가 되고 승수 3(0)은 3(30)이 된다
    그러면 비례식 3(0):3(30)=4(45):4(75)가 되고 내항의 곱과 외항의 곱은 같다.
    내항 4(45)*3(30)= 외항 4(75)*3(0)=12(75)이 된다.
    외항 4(75)곱하기 3은 피승수의 3배로 자연스럽게 받아들일 수 있다.
    여기서 규칙을 도출할 수 있다.
    복소수의 곱 <4(45)*3(30)>은 크기는 곱하고 각도는 더한다는
    규칙이다.질문자는 복소수의 곱을 기하학적 비례식으로 증명하였는데
    모든 책은 결과치인 a+bi로 놓고 풀고 있다.
    허수 i를 유도해 보자.
    규칙에 따라 구하면 1(90)*1(90)=1(180)=-1이 되고
    그런데 1(90)은 수직선인 원점에서 수직선(90도인 선)을 그어 만든 허수축이다.1(90)를 i라 놓으면 i^2=-1이 된다.
    칸 선생님은 구체적으로 회전이동하는 모습을 보여 주셨는데
    질문자의" 복소수의 곱을 기하학적 비례식으로 풀어 증명하는 것"을 검토해 주시기를 바랍니다.
    (추천 1 번)
    사용자 의 Default Khan Academy avatar 아바타
  • 사용자 roh5942ab의 blobby green style 아바타
    Professor Khan said that you multiply size 1 and size 2 ,add angle 1 and angle 2 in the complex number multiplication.
    I think that this is the result
    I prove it as below. ( ) angle in bracket
    ---------------------------------------- Below---------------------
    Complex number have size and angle.
    Multiplication is multiplicand * multiplier.
    In the complex number plane,for example ,A point is multiplicand 4(45).you multiplier 3,and the result is 12(45).Angle is same.
    But 4(45)*3(30) is contradictory in principle.
    Because the angle of 4(45) is not the angle of 3(30).
    But you suppose certain conditions, 4(45)*3(30) is possible in multiplication.
    The rotation of complex number makes geometrical proportional expression.

    multiplication / size 4

    ,,,,,,,,,,,,,/

    ,,/) angle(45)
    ----------------->(multiplier 3)

    Rotate the complex number plane from (0) to (30)

    size /4
    ,,,,,,,,/,,,,,,,,,,,/multiplier size 3
    ,,,,,,/,,,,,,,,,/
    ,,,,/,,,,,,,/
    ..,/,,,,,/
    .,/.,/)multiplier(30)
    /)multiplication(75)
    ------------------>

    If you rotate 30 degrees in the complex number plane,multiplicand 4(45) turns to 4(75) and multiplier 3(0) turns to 3(30).
    If you do so ,geometrical proportional expression is that 3(0):3(30)=4(45):4(75).
    multiplication of internal terms = 3(30)*4(45). that of outer terms = 3(0)*4(75).multiplication of internal terms equals to that of outer terms.3(30)*4(45)=3*4(75)=12(75).
    3*4(75) is three times of 4(75).3(30)*4(45)=12(75)
    Here we draw the rule.
    you multiply size 1 and size 2 ,add angle 1 and angle 2 in the complex number multiplication.
    The rule is that you multiply sizes and add angles.
    All mathematics book represent that complex number is a+bi,i^2=-1.
    But we induce an imaginary number i.
    The rule is that you multiply sizes and add angles.
    1(90)*1(90)=1(180)=-1
    Let 1(90)=i i^2=-1.
    Professor Khan displayed the rotation of complex number in complex number plane.
    Please, professor Khan takes a look at the geometrical proportional of complex number.
    (추천 1 번)
    사용자 의 Default Khan Academy avatar 아바타
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