복소수의 거듭제곱 시각화하기

복소수의 학습은 수 $i$‍와 $i^2=-1$‍이라는 공식을 알리면서 시작했습니다. 나중에는 $i$‍를 수직선의 밖인 $0$‍보다 한 단계 높은 위치에 표시를 했죠. 이전 글에서 보여준 시각화에 따르면 $i$‍의 위치가 왜 그곳이며 제곱값이 $-1$‍인지를 이해할 수 있습니다.

$i$‍를 곱하면 원점에 대하여 ${90}^{\circ }$‍만큼 회전을 합니다:

이는 $i$‍의 절댓값이 $1$‍이며 각도가 ${90}^{\circ }$‍이기 때문이라고 생각할 수 있습니다. 혹은 오직 회전이 ($0$‍에 대하여) $1$‍을 $i$‍가 시작했던 곳으로 움직일 수 있는 유일한 방법이기 때문입니다.

그렇다면 평면 위의 모든 수에 $i$‍를 두 번 곱하면 어떻게 될까요?

이는 원점에 대해 ${180}^{\circ }$‍를 회전하는 것, 혹은 $-1$‍을 곱하는 것과 같습니다. 이는 $i$‍를 두 번 곱하는 것은 $i^2$‍ 즉 $-1$‍을 곱하는 것이기 때문에 말이 됩니다.

$i$‍를 다른 곳에 위치하며 $i^2=-1$‍의 성질을 유지한다면 어떻게 될지 생각해 보셨나요? 복소수의 곱셈의 시각화가 매우 어려웠을 것입니다.

복소수의 거듭제곱을 한 번 배워 봅시다.

$z=1+i\sqrt{3}$‍의 절댓값은 $\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$‍이며 각도는 ${60}^{\circ }$‍입니다. 평면 위의 모든 수에 $z$‍를 세 번 곱하면 어떻게 되나요?

모든 수들은 $2$‍만큼 세 번 늘어나고 따라서 총 $2^3=8$‍만큼 늘어납니다. 또 모든 수들은 ${60}^{\circ }$‍만큼 세 번 회전하며 총 ${180}^{\circ }$‍만큼 회전합니다. 따라서 $-8$‍을 곱한 것과 같으며 $(1+i\sqrt{3}{)}^3=-8$‍이 됩니다.

대수학적으로 보면 다음과 같습니다:

다음으로 평면 위에 모든 수에 $(1+i)$‍를 여덟 번 곱한다면:

$1+i$‍의 크기는 다음과 같습니다

$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$‍,

모든 것이 $\sqrt{2}$‍만큼 8번 늘어났습니다. 따라서 $(\sqrt{2}{)}^8=2^4=16$‍만큼 늘어났습니다.

$(1+i)$‍의 각도가 ${45}^{\circ }$‍이기 때문에, 모든 것들은 $8\cdot {45}^{\circ }={360}^{\circ }$‍만큼 회전을 합니다. 따라서 결과적으로 회전을 하지 않은 것과 같습니다. 따라서 $(1+i{)}^8=16$‍입니다.

대수학적으로 생각을 하면 다음과 같습니다

역으로 질문을 해봅시다: 평면에서 연속으로 다섯 번 곱했을 때 원래의 수로 돌아오는 수 $z$‍가 존재하나요? 다른 말로 식 $z^5=1$‍을 풀 수 있나요? 정답은 $z=1$‍이 될 수 있습니다. 하지만 다른 정답을 찾아야 합니다.

먼저 크기가 $1$‍보다 컸다면 평면이 계속 늘어났을 것이기 때문에 그리고 $1$‍보다 작았다면 계속 줄었을 것이기 때문에 크기가 $1$‍이여야 합니다. 회전은 다른 종류입니다. 왜냐하면 몇 번의 회전 뒤에 원래의 자리로 돌아올 수 있기 때문입니다. 특히 ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍만큼 회전을 시키면 다음과 같습니다.

$5$‍번을 연속으로 곱하면 원래의 식을 얻게 됩니다.

${\displaystyle \frac{{360}^{\circ }}{5}}={72}^{\circ }$‍이기 때문에 다음과 같이 평면을 회전시키는 수는 $\cos ({72}^{\circ })+i\sin ({72}^{\circ })$‍입니다 .

${\displaystyle \frac{2}{5}}$‍ 만큼 회전을 시키는 다른 정답도 있습니다:

혹은 ${\displaystyle \frac{1}{5}}$‍ 만큼 회전시키는 것이죠:

식의 해는 단위원 안에서 육각형을 이루네요:

$z^6=-27$‍을 살펴보면 $6$‍을 연속으로 곱하는 것이 $27$‍ 만큼 늘이고 음수가 ${180}^{\circ }$‍ 회전을 의미하기 때문에 ${180}^{\circ }$‍만큼 회전을 시키는 수 $z$‍를 구하라는 것입니다.

$6$‍번 연속으로 곱한 뒤 $27$‍만큼 늘일수 있는 수는 $\sqrt[6]{\phantom{A}27}=\sqrt{3}$‍만큼의 크기를 가집니다. 그리고 ${180}^{\circ }$‍ 만큼 회전을 시킬 수 있는 수는 각도 ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }}{6}}={30}^{\circ }$‍을 가집니다. 따라서 $z^6=-27$‍을 푸는 방법은

또 다른 정답이 있습니다! 정답들은 반지름이 $\sqrt{3}$‍인 원에서 육각형을 이룹니다:

왜인지 아시겠나요?

마지막 두 예제를 풀어 봅시다. $w$‍와 $n$‍의 값이 주어졌을 때 $z$‍에 대해서 풀라고 합니다. 마지막 예제에서는 $n=6$‍이고 $w=-27$‍이며 $w$‍에 대해 극형식을 찾아야 합니다:

이는 $z$‍의 각도가 ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍이며 크기가 $\sqrt[n]{\phantom{A}r}$‍라는 것을 의미합니다. 왜냐하면 $z$‍를 $n$‍만큼 곱하는 것은 $w$‍가 하는 것과 같이 $\theta$‍만큼 회전을 시키며 $r$‍만큼 늘리는 것이기 때문이죠.

다른 정답을 찾기 위해선 각도 $\theta$‍가 $k$‍에 대해서 $\theta +2\pi$‍ 혹은 $\theta +4\pi$‍, 혹은 $\theta +2k\pi$‍로 생각될 수 있다는 것을 알아야 합니다. 모두 같은 값이기 때문이죠. 이게 중요한 이유는 나누기 전에 $\theta$‍에 $\theta +2\pi k$‍를 대입하면 ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍ 의 값에 영향을 주기 때문이죠. 따라서 모든 정답은 다음과 같은 형식입니다

몇몇 $k$‍의 값에 대해서 말이죠. 해당 값들은 $k$‍가 $0$‍에서 $n-1$‍까지이기 때문에 다릅니다. 하지만 $k=n$‍일 때 각도 ${\displaystyle \frac{\theta +2n\pi }{n}}={\displaystyle \frac{\theta }{n}}+2\pi$‍는 ${\displaystyle \frac{\theta }{n}}$‍와 같다는 것을 알아야 합니다. 이는 한 바퀴 차이이기 때문이죠. 따라서 $k$‍의 값이 $0$‍부터 $n-1$‍이라는 생각한다면 정답을 구할 수 있습니다.