복소수 & 제곱의 합의 인수분해

아주 전에 (x제곱 - y제곱)의 형태를 인수분해 하는 방법을 배웠을 거에요 이 식은 (x+y)(x-y)의 형태로 인수분해가 됬었죠 이런 문제는 쉬운 편이고, 다시 전개해서 원래의 식이 나오는지 확인할 수 도 있어요 그럼, 한번 해 볼까요? X곱하기 X는 X제곱, (X)곱하기 (-Y)는 (-XY), Y곱하기 X는 XY 그리고 -Y곱하기 Y는 -Y제곱이 되네요 가운데 두 항은 없어지고 (x제곱 - y제곱) 만이 남게 되네요 그런데, 여기서 문제는 우리가 제곱의 합으로 되어 있는 식을 인수분해를 하는 방법을 아직 모른다는 거에요 조금 더 밝은 색으로 써 볼게요 만약에 (x제곱 + y제곱)을 인수분해 한다고 하면 우리가 허수를 알기 전까지는 이 식을 인수분해 할 수 가 없을 거에요 하지만, 알고 있으니까 해 볼 수 있겠죠 여기서, 잠깐 동영상을 멈추고 허수단위인 i를 사용해서 인수분해를 한번 시도해 보는 것을 추천드릴게요 그럼, 이제 해봅시다 x제곱은 그대로 놔두고 y제곱은 제곱을 빼는 형태로 바꾸어 줄거에요 그러면, 이 식을 -y제곱을 빼주는 형태로 바꾸어 쓸 수 있겠죠 마이너스를 빼는 건 더하기와 같으니까 그러면, 왜 이렇게 해야 할까요? 이렇게 하면, 이미 알고 있는 (x제곱-y제곱)의 형태가 되기 때문이에요 이제는, 이 부분을 전부 제곱의 형태로 바꾸어 줄거에요 이 부분을 제곱으로 바꾸어 주려면 어떻게 해야 할까요? y는 이미 제곱의 형태인데 -1은 무엇의 제곱이죠? 이미 우리는 i의 제곱이 -1이라는 것을 알고 있어요 아니면, -1의 제곱근이 i라는 것을요 그럼, 이 부분을 다시 써 봅시다 -1대신에 i제곱으로 바꾸어 줄 수 있으니까 -y제곱은 (iy)제곱으로 바꾸어 쓸 수 있겠죠 지금 까지 한것은 -1을 i 제곱으로 바꾸어 준 거에요 여기서 흥미로운 점은 어느 정도 짐작은 하시겠지만 정확하게 짚고 넘어가야 할 것 같아요 이제 이 식은 x제곱 - (iy)제곱의 형태가 되었어요 이렇게 i를 사용해서 (x+y)(x-y)의 형태처럼 바꾸어 줄 수 있어요 그러면, 아까 처음에 인수 분해 했던 방법과 똑같이 인수 분해한다고 하면 (x+iy)와 (x-iy)의 곱으로 나타낼 수 있어요 그러면, 이 식을 다시 전개해서 확인 해 볼 수도 있겠죠 다시 곱해서 x제곱 + y제곱이 나오면 같은 식이니까요 한번 해볼까요? x곱하기 x는 x제곱, x곱하기 -iy는 -ixy iy곱하기 x는 ixy 이제 지금까지 쓰지 않은 색으로 바꿔볼게요 마지막으로 iy곱하기 -iy는 -(iy)제곱 가운데 두 식은 사라지고 x제곱 - (-y제곱)만 남았네요 (- )를 빼는 것은 더하는 것과 같으니까 x제곱 더하기 y제곱의 식이 나오게 되네요 그러면, 이제 여러분은 허수인 i를 사용해서 이런 식을 인수분해 하는 법을 배웠습니다