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주요 내용

켤레복소수란?

켤레복소수가 무엇인지, 왜 복소수와 결레복소수의 곱이 항상 실수인지 배워 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

저는 간단한 설명을 통해 복소수를 더 알려주고자 합니다 첫번째 영상에서, 저는 복소수 z를 a+bi로 쓴다고 했습니다 그리고 저는 항상 이 단어를 쓰기 때문에 조심스럽게 사용해야 할 것입니다 하지만, 지금은 써야 하는 상황입니다 그래서, 복소수의 실수부는 a입니다 이 부분이 정확하게 실수부입니다 그리고 복소수는 실수부와 허수부로 이루어졌습니다 그리고 복소수는 실수부와 허수부로 이루어졌습니다 그래서 자세한 설명을 위해 이 부분도 허수부라고 하겠습니다 복소수의 이 부분을 허수 부분이라고 하겠습니다 하지만 이 부분에는 조심스러워야 합니다 저는 여러분께 z의 실수 부분을 나타내는 함수는 a를 받는다고 하였습니다 그리고 허수 부분을 나타내는 함수에 대해서는 제가 첫번째 영상에서 i에 곱하는 숫자인 b를 나타낸다고 하였습니다 i에 곱하는 숫자인 b를 나타낸다고 하였습니다 그래서 이는 b를 받을 것입니다 만약 어떤 사람이 허수 부분에 대하여 형식적으로 얘기한다면 그들은 i에 곱하는 b를 나타내는 것입니다 하지만 제 머릿속에서 복소수를 생각한다면 저는 실수와 허수의 집합체를 생각합니다 그리고 다른 사람이 저에게 허수 부분에 대하여 물어본다면 저는 이 부분을 모두 얘기할 것입니다 하지만 여러분에게 다른 사람이 물어본다면 여러분은 그저 b라고 얘기해야 할 것입니다 그게 일을 더 수월하게 만들 것입니다 솔직히 말해서, 저는 '허수부'라는 이름이 잘못된 것 같습니다, 왜냐하면 이 모든 부분이 허수이기 때문입니다 여기 있는 수는 허수가 아닙니다 이것은 실수입니다 이 숫자는 i에 곱해지는 실수입니다 그래서 그들은 이 수를 허수부 z에 곱하는 실수라고 해야 합니다 어쨋거나, 이 부분에서 저는 여러분에게 켤레 복소수에 대해 알려주고자 합니다 켤레 복소수에 대해 알려주고자 합니다 만약 이게 z라면, z의 켤레 복소수는 위에 막대기를 그려놓은 것입니다 가끔씩은 z 위에 조그마한 기호를 그린 것으로 쓰입니다 그리고 이 수들은 a-bi를 뜻합니다 이제 그들이 아르강 도표에서 어떻게 보이는지 살펴봅시다 이게 실수 축입니다 이게 실수 축입니다 그리고 이게 허수의 축입니다 z는 여기에 있습니다 높이가 b인 곳에 있습니다 그리고 길이는 a입니다 이게 바로 z입니다 z의 켤레 복소수는 -bi입니다 그래서 실수인 a는 같지만 허수인 b는 음수 부분에 있기 때문에 이렇게 그려집니다 이게 z의 켤레 복소수입니다 이를 시각화하면, 임의의 복소수의 켤례 복소수는 x축을 기준으로 대칭인 지점이라고 할 수 있습니다 이 그래프를 수영장으로 가정한다면 우리는 반사된 모습을 보고 있는 것입니다 그리고 복소수와 켤례 복소수를 더한다면 이 그래프를 살펴봐야 할 것입니다 이 둘은 방향을 나타내는 벡터입니다 그래서 만약 우리가 z와 그의 켤례 복소수를 더한다면 우리는 벡터를 처음부터 끝까지 옮기면 됩니다 옮기면 됩니다 이 부분에서, 우리는 z를 켤레복소수와 더합니다 여기 있는 지점, 즉 여기 있는 벡터는 z와 z의 켤레복소수의 합입니다 그리고 시각적으로 볼 수 있듯이 2a가 됩니다 2a가 됩니다 이 수를 대수적으로 나타내 보겠습니다 만약 제가 z를, 즉 bi와 그 수의 켤레복소수, 즉 -bi를 더한다면 어떤 수가 나오게 됩니까? 이 두 숫자가 사라집니다 그저 2a만 남게 될 것입니다 다른 방법으로 생각한다면 수학을 가지고 놀고 있다고 생각하고 만약 임의의 복소수와 그 켤레복소수를 더한다면 실수부의 2배인 숫자가 나오게 된다는 것을 알았습니다 그리고 이 부분은 켤레복소수의 실수부의 2배입니다 왜냐하면 실수부는 같이 주어지기 때문입니다 그럼 이제 이 문장을 가지고 켤레 복소수가 유용히 쓰이는 것에 대해 알아봅시다 예를 들어 제가 (1+2i) ÷ (4+5i)를 계산한다고 합니다 이를 간단히 바꿀 방법은 거의 없을 듯합니다 분모도 방법이 존재하지 않는 것 같습니다 저는 이를 한 개의 복소수로 나타내고 싶습니다 만약 제가 복소수를 복소수로 나눈다면 또 다른 복소수가 나올 것입니다 어떻게 해야 그렇게 할 수 있습니까? 한 가지 방법은 분자와 분모에 각각 켤레 복소수의 분자와 분모를 곱하는 것입니다 그래서 (4+5i) ÷ (4+5i)를 곱합니다 계산하면, 그저 1을 곱한다는 것입니다 왜냐하면 같은 수를 서로 나누기 때문입니다 하지만 이가 유용한 이유는 제가 곱했을 때 실수를 결과로 받았기 때문입니다 이 식에서 보여드리겠습니다 먼저 이 계산을 끝내야 합니다 1 × 4+5i는 4+5i이고, 2i × 4는 8i입니다 그 다음에 2i × 5i는 10 × i²이므로 -10이 됩니다 그리고 분자는 (a+b) × (a-b) 형식의 계산을 해야 합니다 (a+b) × (a-b) 형식의 계산을 해야 합니다 (a+b) × (a-b)는 a² - b²입니다 그래서 4²은 16이 될 것이고 -4²은 여기 4가 아니라 5여야 합니다 -4²은 여기 4가 아니라 5여야 합니다 저도 제가 뭘 하고 있는지 모르겠습니다--어쨋든 4+ 5i입니다, 같은 수 위에 같은 수여야 합니다 이게 켤레 복소수입니다 저도 잘 모르겠습니다 아마 제 뇌가 4라고 인식한 것 같습니다 아무튼, (4+5i) ÷ (4+5i)입니다 아무튼, (4+5i) ÷ (4+5i)입니다 이제 곱해봅시다 이는 (a-b) × (a+b)이기 때문에, 4 × 4입니다 그래서 이는 4² - 5i²입니다 그래서 이는 4² - 5i²입니다 그리고 이는 4-10일 것입니다 이제 실수부를 계산하겠습니다 4-10은 -6입니다 5i + 8i는 13i입니다 이제 허수부입니다 16 - 5i²입니다 5i의 제곱은-- i의 제곱은 -1입니다 5의 제곱은 그저 25가 될 것입니다 음수와 음수가 합쳐지면 모두 없어지고 16 + 25가 됩니다 값은 41입니다 이제 우리는 이를 복소수로 쓸 수 있습니다 결과는 -6/41 + (13/14) × i입니다 우리는 두 개의 복소수들을 나눌 수 있었습니다 이때 찾을 수 있는 유용한 방법은 임의의 복소수와 켤레 복소수를 곱할 때 임의의 복소수와 켤레 복소수를 곱할 때 단, 켤레복소수의 켤레복소수는 기존의 수임을 명심해야 합니다 어쨋든 만약 제가 아무 복소수를 가지고 그 켤레복소수와 곱한다면 결과는 (a+bi) × (a-bi)일 것입니다 실수를 가지게 되는 것입니다 계산 결과, a² - (bi)²를 받게 되는데, 이 때 i의 제곱이 -1이기 때문에 bi²는 -b²가 될 것입니다 하지만 음수 기호가 1개 더 있기 때문에 모두 사라지고, a² + b² 가 되는 것입니다 그리고, 이는 우연하게도 복소수의 크기의 제곱과 같은 수입니다 그래서 이게 바로 유용한 방법입니다 이 방법은 켤레복소수를 유용하게 만듭니다 특히 우리가 복소수의 나눗셈을 간단하게 하고 싶을 때 유용하게 쓰입니다 어쨋거나, 우리는 그 방법을 찾았습니다