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주요 내용

복소수의 절댓값 & 각

 √3/2+1/2*i의 절댓값과 편각을 구하는 방법을 배워 봅시다. 만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

제가 이 동영상에서 하고 싶은것은 복소수를 시각적으로 보이는데에 문제가 없도록 하는 것입니다 여러분은 복소수라는 개념을 잘 알고 있을 것입니다 복소수를 z라고 해봅시다 z는 복소수를 나타내는데 사용되는 변수입니다 z가 a+bi라고 해봅시다 우리는 이것이 실수부와 그러니까 실수부와 허수부를 가지고 있기 때문에 복소수라고 부릅니다 그리고 여러분이 표기법에 익숙해지려면 알아야 되는 것이 만약 누군가가 Re(z) 라고 쓴다면 (그러니까 z의 실수부를 제시하라는 것이지요) 이것은 여러분이 복소수를 대입하였을 때 실수부를 대응값으로 제시하는 함수입니다 이 경우에는 실수부가 a 에 해당됩니다 그러면 여러분은 다른 함수를 또 접할 수 있는데 허수부라고 불립니다 z의 허수부 말입니다 복소수를 대입하면 이 함수는 그 복소수의 허수부를 나타냅니다. 허수부- 이것은 여러분이 i 축 방향으로 얼만큼 이동해야 하는지 나타냅니다 이 문제에서는 b가 되겠지요 b는 실수이지요-하지만 이것은 복소수 z를 표현하기 위해 i축 방향으로 복소수가 얼마나 이동했는지 보여줍니다 (여기서요) 복소수를 표현하는 방법에는 --이것은 복소수를 표현하는데 매우 효과적인 방법입니다-- 숫자들의 제곱근을 가지고 --특히 복소수근-- 아르강 도표라는 것을 사용하는 것이 있습니다 아르강 도표 말입니다 이것이 바로 아르강 도표입니다 이것은 좌표축처럼 보이지만 또 좌표축이기는 하지만 x축과 y축 대신 실수축과 허수축을 가지고 있습니다 따라서 z는 a+bi라는 예를 위치 벡터로 그릴 것입니다 가로축은 실수부를 뜻합니다 따라서 a가 되겠지요 그리고 세로축 혹은 허수축은 허수부는 y축입니다. 이게 b라고 합시다 우리는 벡터 z를 위치 벡터로서 아르강 도표에 표시할 것입니다 이것은 0부터 시작하고 끝이 (a,b)인 것을 말하지요 따라서 여기가 우리의 복소수입니다 이것은 아르강 도표에서 나타낸 복소수 혹은 z 입니다 여러분이 이것을 이렇게 그리면 --위치 벡터로 그린다면-- 그리고 여러분이 극좌표를 잘 안다면 아마 여러분은 "내가 이 복소수를 꼭 좌표로, 그저 a+bi로 표현을 하지 않아도 되겠다, 어쩌면 이 복소수를 각도- 이 각도를 phi라고 합시다 그러니까 각도와 이 거리로 나타낼 수도 있겠다- 이 거리는 r이라고 합시다 r은 이 벡터의 크기를 나타냅니다 이 표현 방법도 옳은 방법입니다 만약에 여러분이 각도 하나와 거리 하나가 있다면 그것도 복소수 좌표에 이 점을 콕 집어서 나타낼 수 있게 합니다 이 각도는 복소수의 각도라고 불리고 이 거리는 크기 또는 계수 또는 이 복소수의 절대치라고 불립니다 한 번 생각을 해볼까요 한 번 우리가 이 값들을 실제로는 어떻게 계산할 수 있을지 생각해 봅시다 그러니까 크기나 계수라 불리는 r 은 z1의 크기 또는 절대치에 의하여 나타내어 집니다 그럼 그 값이 과연 무엇일까요? 여기에 직각삼각형이 보이죠 직각삼각형이 보이네요 이쪽이 b, 길이가 b고 여기 밑변의 길이는 a입니다 그러니까 r을 계산하기 위해서는 그냥 피타고라스 정리를 이용하면 되겠네요 r의 제곱은 a 제곱 플러스 b 제곱 그러니까 r은 a 제곱 플러스 b 제곱의 루트값이지요 우리가 만약에 여기 각도를 계산하려면 한 번 각도를 계산 해본다 합시다 어떤 값이 나오죠? 한 번 생각해 봅시다 여기 b와 a가 있어요, 그러니까 어떤 삼각 함수가 높이와 밑변을 다루나요? 한번 그 유명한 sohcahtoa (암기법) 를 써봅시다 탄젠트(Tangent)는 높이(Opposite)를 밑변(Adjacent)로 나눈 것이죠 (그래서 sohcahTOA) 그래서 여기 이 각의 탄젠트는, 이 복소수의 각도의 탄젠트는 어떤 값에 해당되냐면 밑변 분의 높이입니다 그러니까 여기에서는 a분의 b입니다 그러니까 우리가 만약 이 각도를 찾으려면 이 각도는 아크탄젠트의 (또는 역탄젠트의) a분의 b라고 할 수 있습니다 이제, 우리가 수를 나타내려면 - 우리한테 복소수가 주어졌다고 가정해 봅시다 복소수의 각도가 주어졌고 그러니까 계수와 각도가 주어졌다고 가정해 봅시다 그러면 어떻게 다르게 계산할까요? 만약에 우리가 실수부(a)와 허수부(b)가 있다면 어떻게 크기를 구하고 어떻게 각도를 구하는지 제가 방금 보여드렸죠 그런데 만약 크기와 각도가 주어진다면, 어떻게 반대로 계산을 할까요? 여기서 r과 각도 세타를 이용해 a의 값을 알아내려고 한다면 그러니까 각도와 빗변의 값을 가지고 밑변인 a의 값을 알아내려고 한다면 빗변분의 밑변은 코사인에 해당되니까 각도의 코사인 값이 빗변분의 밑변값 그러니까 r분의 a값에 해당됩니다. 양변에 r을 곱하면 a의 값은 r 곱하기 코사인 phi 값이라는 결과를 얻게 됩니다 b도 비슷하게 계산을 해 볼까요 사인을 사용한다면- 빗변 분의 높이 사인의 각도 값은 r분의 b입니다 그러니까 크기 분에 b 값이지요 양변에 r을 곱하면 b의 값은 r *sin(phi) 값이라는 결과를 얻습니다 그러니까 이 복소수를 어떻게 쓸 수 있을까요? 이 복소수 z는 무엇에 해당되냐면 실수부- 그러니까 r*cos(phi) r*cos(phi) + 허수부 곱하기 i 그러니까 더하기 r*sin(phi) 곱하기 i 이것은 아마 여러분이 오일러의 공식을 알고 있다면 흥미롭게 보일 텐데요 이 r로 묶어 봅시다 그러면 이것은 r로 묶었으니까 r 곱하기 cos(phi) cos(phi) 플러스 i (i를 앞에 씁시다) i sin(phi) 이게 무엇일까요? 제가 했던 테일러 급수 비디오를 여러분이 보셨다면 (미적분학 목록에 있는 비디오들이죠) 그리고 이것은 모든 수학을 통틀어서 가장 뜻깊은 결과중 하나인데 (아직도 소름이 끼칠정도로 놀라운 결과이죠) 바로 오일러 공식입니다 이것은 오일러 공식과 같은 것입니다 테일러 급수로는 e 를 x 로 표현하는 것,말하자면 코사인 x값과 사인 x값을 테일러 급수로 나타내는 것인데 이것은 - 우리가 라디안으로 계산한다면- e의 i*phi 승 그러니까 z는 r 곱하기 그러니까 r 곱하기 e의 i*phi 승이 되는 것입니다 이런 결과가 나오지요 그러니까 복소수를 쓰는 데에는 2가지 방법이 있습니다 이렇게 쓸수 있고 (실수부와 허수부로 나눠서) 이건 일컬어 "익숙한 표현방식"이고 아니면 지수함수 형식으로- 이 형식에서는 크기 (계수)가 복소수 지수로 곱해져 있지요 이 형식은 아주 유용한데 특히 우리가 근을 찾으려 할 때 유용하지요 확실하게 해 놓기 위하여 실제 예를 들어 해 봅시다. 제가 한번 z1이 2분의 루트3 + i 이라고 해 봅시다 이 복소수의 크기와 각도를 구해 봅시다 그러니까 z1의 크기는 우변의 제곱의 합의 루트가 되겠지요 그러니까 이것은 4분의 3 더하기 1, 이것을 4분의 4라고 해 봅시다 그러니까 이것은 루트 4분의 7 결국 2분의 루트 7이 됩니다 이제는 각도를 구해 볼까요 한번 아르강 도표를 그려보면 이렇게 생겼지요 제 1사분면에 있을 것이니 이 부분만 그리도록 할게요 그려봅시다 이렇게요 이렇게 되었지요. 그러니까 루트 3이 있고- 문제를 조금 바꿔볼게요 숫자가 좀 더 깔끔하게 떨어지게요 죄송합니다 한번 이렇게 깔끔하게 바꿔볼게요 조금 더 결과가 깔끔하게 나오게요 첫번째 예니까 간단하게 해 봅시다 그러니까 2분의 루트3 + 2분의 1 i 이렇게 해 봅시다 이제 여기서 크기를 구해보자면 z1의 크기는 2분의 루트 3의 제곱은 4분의 3이고 2분의 1의 제곱은 4분의 1이니까 이러면 문제가 더 간단해지지요 z1의 크기는 루트 1, 즉 1입니다 이제는 아르강 도표를 그려서 각도를 한번 살펴봅시다 이게 허수축 허수축이고 이것이 실수축입니다 실수축이지요 그러니까 이 복소수는 2분의 루트 3 루트3의 값이 한 1.7 정도이니까 2분의 루트3은 아마 이쯤 여기에 있겠네요 이 값이 2분의 루트 3 이고요 실수부이죠 허수부는 2분의 1이니까 여기가 1이고, 여기가 1/2이니, 여기 이쯤에 있겠네요 그리고 또 이 복소수의 길이 또는 크기가 1이라는 것도 압니다 그래서 여기에서 어떻게 phi의 값을 알 수 있냐면 이 부분의 길이가 2분의 1이라는 것을 압니다. 허수부지요. 밑변의 길이는 2분의 루트 3이라는 것을 압니다 그래서 할 수 있는 방법은 여러가지인데 첫번째- 그냥 탄젠트를 살펴보면 됩니다 탄젠트는 밑변 분의 높이니까요 그러니까 탄젠트 phi는 2분의 루트3 분의 2분의 1이라고 할 수 있겠네요 그 다음에 양변에 아크탄젠트를 씌우면 답이 뭐가 되냐면 phi는 역탄젠트 또는 아크탄젠트의 (분자 분모에 2를 곱해서) 루트3분의 1이 됩니다 이렇게 풀 수가 있고요 아니면 phi는 역사인 사인 phi가 빗변분의 높이 그러니까 사인 phi는 1분의 2분의 1 즉 phi는 아크사인의 2분의 1- 이것을 계산기로 계산할 수 있고요 아니면 이것이 30-60-90도 삼각형이라는 것을 알아차릴 수도 있겠지요 그러니까 밑변의 길이가 2분의 루트3이고 이 길이는 2분의 1, 빗변은 길이가 1이고요 그러니까 여기 각도의 값은 30도가 되겠네요 이것은 단순히 30-60-90 도 삼각형 패턴 맞추기네요 다른 방법으로도 이 문제를 풀 수 있습니다. 자 저는 이것을 라디안으로 왜냐하면 지수함수 형식으로 표현하려면 라디안으로 표현해야 하기 때문이죠 그러니까 phi는 30도 30도는 라디언으로 6분의 파이 이지요 그러니까 z1을 지수함수 형식으로 표현한다면 이것은 r, 그러니까 여기서는 크기인 1 여기 1을 쓰긴 했지만 사실 쓸 필요는 없지요 1 곱하기 e의 6분의 파이 곱하기 i 승 e의 6분의 파이 곱하기 i 승 이렇게 하면 되는 거랍니다!