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코스: 기초 미적분학 > 단원 3

단원 5: 복소수의 절댓값과 각

복소수의 절댓값 & 각 복습

절댓값과 각같은 복소수의 성질을 복습해 봅시다. 그리고 직교 형식과 극 형식 간의 변환도 복습해 봅시다.


$a + b i$ ‍의 절댓값		$∣ z ∣= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ‍
$a + b i$ ‍의 각도		$θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})$ ‍
$r$ ‍의 절댓값과 각도 $θ$ ‍를 이용한 직교정식		$r \cos (θ) + r \sin (θ) \cdot i$ ‍

복소수의 절댓값과 각이 무엇인가요?

이미 직교정식을 사용해 복소수를 나타내는 것은 익숙합니다.

실수

와

허수

부분을 포함합니다. 예를 들어

3 + 4 i

와 같은 경우입니다.

수를 복소평면에 각 부분에 따라 그릴 수 있습니다:

그래프를 이용해 생각하면 복소수를 표현할 수 있는 다른 방법이 있습니다 —

절댓값

과

각도

를 사용하면 됩니다:

절댓값

은 복소평면에서 원점부터 수까지의 거리를 나타냅니다.

각도

혹은

편각

은 수가 양의 축과 이루는 각도를 나타냅니다.

복소수

z

의 절댓값은 실수의 절댓값과 같이

| z |

의 형태로 적습니다.

복소수의 절댓값과 각도에 대해 더 알고 싶으신가요? 다음 영상을 참고하세요.

연습문제 1: 절댓값 구하기

복소수의 절댓값을 찾기 위해 수의 제곱합의 제곱근을 구합니다 (이는 피타고라스의 정리에 해당됩니다):

| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

예를 들어

3 + 4 i

의 절댓값은

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5

입니다.

문제 1.1

| 3 + 7 i | =

정확한 답을 적어보세요.

비슷한 문제를 더 풀어보고 싶으세요? 이 연습문제를 풀어 보세요.

연습문제 2: 각도 구하기

복소수의 각도를 찾기 위해선 각 항의 비의 역탄젠트값을 구합니다:

θ = \tan^{- 1} (\frac{b}{a})

이는 수와 실수축이 이루는 직각삼각형에 삼각함수를 적용하는 것과 같습니다.

예제 1: 제1사분면

3 + 4 i

의 각도를 찾아봅시다:

\tan^{- 1} (\frac{4}{3}) \approx 53^{\circ}

예제 2: 제2사분면

- 3 + 4 i

의 각도를 찾아봅시다. 먼저

- 3 + 4 i

가 제2사분면에 위치한다는 것을 알아야 합니다.

\tan^{- 1} (\frac{4}{- 3}) \approx - 53^{\circ}

- 53^{\circ}

는 제4사분면이 아닌 제2사분면에 위치합니다. 대각을 찾기 위해선

180^{\circ}

을 더해야 합니다:

- 53^{\circ} + 180^{\circ} = 127^{\circ}

문제 2.1

z = 1 + 4 i

θ =

^{\circ}

필요하다면 둘째 자리에서 반올림하세요. $θ$ ‍를 $- 180^{\circ}$ ‍와 $180^{\circ}$ ‍ 사이의 값으로 나타내세요.

비슷한 문제를 더 풀어보고 싶으세요? 이 연습문제를 풀어보세요.

예제 3: 절댓값과 각도를 이용해 직교형식 구하기

절댓값과 각도를 이용해 복소수의 실수와 허수 부분을 구하기 위해선 절댓값에 각도의 사인 혹은 코사인 값을 곱합니다:

\overset{a}{\overset{⏞}{r \cos (θ)}} + \overset{b}{\overset{⏞}{r \sin (θ)}} \cdot i

이는 수와 실수축이 이루는 직각삼각형에 삼각함수를 적용하는 것과 같습니다.

예를 들어 이는 절댓값이

2

이며 각도가

30^{\circ}

인 복소수의 직교형태입니다.

2 \cos (30^{\circ}) + 2 \sin (30^{\circ}) i = \sqrt{3} + 1 i

문제 3.1

| z_{1} | = 3

그리고

θ_{1} = 20^{\circ}

입니다

z_{1} =

i

소수 넷째 자리에서 반올림하세요.

이와 같은 문제를 더 풀고 싶으신가요? 다음 문제를 확인해보세요.

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