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함수의 정의역를 제한하여 역함수 만들기

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f(x)=cos⁡(x-π/4)라는 함수에서 어느 구간을 제한하면 f(x)가 역함수를 가질 수 있을까요? 그리고 cos⁡(x-π/4)가 어떻게 생겼는지 그래프가 제시되어 있습니다 그럼 잠시 역함수가 어떤 것인지 생각을 해 봅시다 함수란 우리가 정의역이라고 부르는 원소들의 집합과... 오늘 펜이 좀 이상합니다 잘 써지는지 확인해 보겠습니다 자, 이 부분이 정의역입니다 그리고 이 쪽은 치역입니다 함수는 정의역의 특정 원소와 치역의 특정 원소를 연결해줍니다 이게 함수의 역할입니다 역함수는 치역의 그 특정 원소를 다시 정의역의 특정 원소로 연결지어 줍니다 이것이 역함수입니다 이게 함수의 방향이라면 이것은 역함수의 방향입니다 역함수가 될 수 없는 경우도 있습니다 역함수가 될 수 없는 상황 중 하나는 정의역의 두 원소가 치역의 동일한 원소로 연결되는 경우입니다 여기 두 개의 원소가 모두 이 하나의 원소로 연결됩니다 이 둘 모두 함수입니다 하지만 이런 경우에는 역함수를 만들 수 없습니다 만약 역함수를 만든다면 어디로 연결되어야 할까요? 정의역의 이 원소와 연결해야 할까요? 아니면 여기 다른 원소와 연결해야 할까요? 더 쉽게 이해하기 위해서 일대일 대응을 생각해 봅시다 치역의 모든 원소에는 오로지 하나의 정의역 원소만 연결되는 겁니다 또 이렇게도 생각해 볼 수 있습니다 함수 그래프에 수평선을 그어 봅시다 그리고 이 선이 함수와 한 번 이상 만나는지를 보는 겁니다 그럼 여기 주어진 함수로 한 번 확인해 봅시다 여기에 수평으로 선을 그립니다 이게 왜 중요할까요? 숫자를 확인하기 편하도록 다시 그려 보겠습니다 여기에 수평으로 선을 긋습니다 왜 이 수평선이 중요할까요? 여기 그래프로 표현되어 있는 정의역을 보면 몇몇 지점에서 치역의 동일한 원소와 만난다는 것을 알 수 있습니다 모두 0.5를 지납니다 0.5, 여기 이 값을 함수에 대입하면 0.5가 되고 이 값을 대입해도 0.5가 되고 여기 이 값도 마찬가지입니다 만약 정의역의 여러 원소가 모두 치역의 하나의 원소에 대응한다면 이 정의역에 대한 역함수를 만들 수 없습니다 우리가 하려는 것은 정의역을 제한해서 그 정의역에 대해 수평선을 그려 보았을 때 함수와 단 한 번만 만나도록 하는 것입니다 이 함수의 그래프를 한 번 봅시다 여기 보기들을 보겠습니다 첫 번째는 열린 집합입니다 -5π/4 -5π/4, 여기가 π... --π이고 다시 π/4 만큼 이동하면 여기서 시작하면 되겠습니다 여기서 부터 -π/4까지, 정의역은 이 구간입니다 다른 색으로 써 봅시다 이 양 끝점은 구간에 포함되지 않습니다 여기에도 수평선을 그려볼 수 있습니다 그러면 정의역 내의 두 점이 치역의 동일한 원소와 만난다는 것을 알 수 있습니다 만약 여러분이 이 함수의 역을 만들려면 역을 만들려면 이 원소 -0.6을 역함수에 대입했을 때 어떤 값이 나와야 할까요? 여기 이 값일까요? 아니면 여기 이 값일까요? 이 보기는 제외해도 되겠습니다 다음은 [-π, π] 구간입니다 여기 이 색으로 써 봅시다 -π에서 π까지 이것은 닫힌 집합이므로 양 끝 점을 포함합니다 -π와 π도 정의역에 포함됩니다 다시 한 번 이 구간에 수평으로 선을 그립니다 아까 그렸던 파란 선을 가지고 해 봅시다 잘 보시면 정의역에 있는 하나 이상의 원소가 0.5에서 선과 만나게 됩니다 그럼 f(0.5)의 역함수는 무엇이 될까요? 정의역의 하나의 원소에만 대응하는 역함수는 만들 수 없습니다 그러니 이 보기도 제외할 수 있습니다 이번엔 [-π/2, π/2] 입니다 -π/2, 이제 색을 다 써버렸습니다 -π/2에서 π/2까지 이건 흥미롭습니다 수평선을 여기, 여기, 여기, 어디 봅시다 여기에 수평선을 그리니 함수와 두 번 만나게 됩니다 정의역의 두 지점이 치역의 한 원소와 만납니다 그러니 이 보기도 제외합시다 이제 보기가 하나 남았습니다 이번엔 잘 되길 바랍시다 열린 집합 π/2 여기서부터 5π/4까지 π에서 1/4 만큼 더, 여기입니다 어디 봅시다 여기 그래프를 보면 수평선과 여러 번 만나는 지점이 없는 것 같습니다 수평선은 정의역 어디에나 그릴 수 있습니다 정의역 전체에 걸쳐서 그려 봅시다 보시다시피 정의역 전체에 그렸습니다 함수와는 단 한 번씩만 만납니다 따라서 치역의 모든 원소가 정의역에 있는 오로지 하나의 원소와 만나게 되는 겁니다 수평선 테스트를 통과했으니 이 보기가 정답입니다