역탄젠트란?

지난 영상에서 누군가가 여러분에게 다가와 arcsin x가 뭔지 묻는다면 arcsin x가 뭔지 묻는다면 이 값은 어떤 값과 같게 됩니다 이는 각도의 sin 값이 x라는 것과 같습니다 이전 예제에서 몇 가지 유형들을 풀었습니다 같은 방법으로 풀어봅시다 이 등식을 sin-1(x) = ?라고 쓸 수도 있습니다 이 등식을 sin-1(x) = ?라고 쓸 수도 있습니다 두 식은 같습니다 sin 역함수를 쓰는 두 가지 방법입니다 이것은 sin의 역함수입니다 -1을 곱하면 안됩니다 ?의 값은 어떻게 될까요 어떤 각도에서 x와 같아질까요? 우리는 이전 영상에서 해결했습니다 같은 방법으로 길에서 제가 여러분에게 다가와서 tan-1(x)이 무엇과 같냐고 물었습니다 그러면 여러분은 어떤 각의 tan값이 x가 되냐고 묻고 있다는 것을 알아야 합니다 저는 이 각도를 구하고자 합니다 예제를 풀어봅시다 제가 길에서 여러분에게 온다 합시다 먼 길을 걸어왔다 합시다 제가 여러분에게 arctan^-1의 값이 얼마인가요? 또는 이렇게 물어볼 수 있습니다 tan-1(-1)의 값이 얼마인가요? 같은 질문입니다 이제 여러분은 머릿속에서 외우지 못하겠다면 단위원을 그립니다 tan 함수에 대해서 복습해봅시다 tanΘ는 이건 보통 함수로 tan의 역함수가 아닙니다 이는 sinΘ/cosΘ와 같습니다 sinΘ는 단위원에서의 y값이고 단위원에서입니다 cosΘ는 x값입니다 여러분이 선을 그으면 여기에 단위원을 그리겠습니다 단위원을 그려보면 각도를 하나 정합시다 이 각도를 Θ라 합시다 점의 좌표를 (x,y)라 합시다 우리는 이미 y값을 알고 있으며 이는 sinΘ입니다 화면을 옮기겠습니다 sinΘ입니다 우리는 이미 x값이 cosΘ임을 알고 있습니다 그렇다면 tan은 어떻게 될까요? 높이의 길이/밑변의 길이입니다 또는 대수학 1에서 봤던 것 같은 내용을 쓰겠습니다 원점에서 시작하겠습니다 이 길이가 ∆y이고 이 길이는 ∆x입니다 ∆y/∆x가 구하려는 기울기입니다 그림에서 tanΘ는 이 선분의 기울기입니다 기울기입니다 즉 기울기가 tanΘ와 같다고 쓸 수 있습니다 이 사실은 문제를 풀 때 다시 언급하겠습니다 여기에 쓰겠습니다 tan-1(-1)은 얼마일까요? 이것과도 같습니다 arctan-1은 얼마일까요? 제가 묻는 것은 단위원에서 어떤 각도에서 기울기가 -1이 되는가입니다 단위원을 그립시다 단위원을 그리겠습니다 축을 정하겠습니다 기울기가 -1이 되기를 원합니다 기울기가 -1이면 이런 형태가 됩니다 이런 형태였다면 기울기는 +1이 됩니다 이 각의 크기는 얼마일까요? 기울기가 -1이 되기 위해서는 두 선분의 길이가 같아야 합니다 이미 아시겠지만 이 각은 직각입니다 따라서 두 각의 크기가 같습니다 45 45 90 삼각형이 됩니다 이등변삼각형입니다 두 각을 합해서 90도가 되고 크기가 같아야 합니다 즉 45 45 90 삼각형이 됩니다 직각이등변삼각형임을 알면 변의 길이를 알 필요가 없습니다 이전 영상에서 우리는 길이를 구했습니다 이 거리는 √2/2입니다 따라서 이 점의 y좌표는 -√2/2입니다 이 점의 x좌표는 √2/2인데 왜냐하면 두 변의 길이가 같기 때문입니다 (√2/2)^2 + (√2/2)^2는 1의 제곱과 같습니다 중요한 것은 이 삼각형이 직각이등변삼각형임을 이해하는 것입니다 따라서 이 각도의 크기는 여러분이 삼각형을 보면 45도라고 할 것입니다 x축에 대해 시계방향으로 회전했으므로 -45도라고 하겠습니다 즉 tan -45는 각도는 도 단위입니다 보통 이렇게 접근합니다 tan -45도는 음수, 즉 -√2/2 / √2/2이며 이는 -1과 같습니다 또는 arctan-1이 -45도와 같다고 쓸 수 있습니다 우리는 라디안 단위로 풀어야 하므로 라디안으로 바꿔줍시다 π라디안/180도를 곱해서 단위를 바꿔줍니다 도 단위는 지워집니다 즉 45/180를 얻습니다 1/4이 됩니다 - 부호에 유의합시다 -π/4라디안을 얻습니다 따라서 arctan-1은 -π/4와 같습니다 tan-1(-1) 역시 -π/4와 같습니다 이렇게 말할 수 있습니다 -π/4 위치에 있다면 이 점일 것입니다 좋습니다 이 직선의 기울기가 -1이므로 -1을 얻을 수 있습니다 하지만 시계 반대방향으로 계속 가면 이 각에 2π를 더합니다 아마 2π를 더해도 같은 값을 얻을 것입니다 새로운 각의 tan값을 구하면 -1이 됩니다 2π를 다시 더해도 -1이 얻어집니다 이 점에서 생각해봅시다 tan값은 여전히 -1인데 기울기가 같기 때문이죠 앞서 sin 역함수 영상에서 말했듯이 치역이 여러 개인 함수는 존재하지 않습니다 tan-1(x)는 한 값에서 여러 값들을 치역으로 가질 수 없습니다 따라서 π/4가 될 수 없습니다 -3π/4가 될 수도 없습니다 -3π/4가 될 수도 없습니다 2π - π/4가 될 수도 없고 4π - π/4가 될 수도 없습니다 함수는 서로 다른 치역을 동시에 가질 수 없습니다 즉 tan의 역함수의 치역 범위를 제한해야 합니다 sin 역함수의 치역을 제한한 것처럼 치역의 범위를 정합니다 치역의 범위를 1,4사분면으로 제한합니다 즉 tan 역함수에서의 답은 이 두 사분면에서 얻어집니다 하지만 이 두 점은 범위에서 제외됩니다 왜냐하면 tan 함수가 π/2와 -π/2에서 정의되지 않기 때문이죠 기울기가 수직선이 됩니다 x의 변화량이 0입니다 cosΘ는 0이 됩니다 0인 값으로 나누면 정의가 되지 않습니다 즉 치역은 tan-1(x)에 대해서 tan 함수가 갖는 값은 어떻게 될까요? tanΘ가 x와 같다고 하면 x가 가질 수 있는 값에는 어떤 것이 있을까요? 기울기로 가능한 모든 값입니다 어떤 값이든지 기울기가 될 수 있습니다 따라서 x는 -∞와 +∞ 사이의 어떤 값이든지 될 수 있습니다 x는 어떤 값이든 될 수 있습니다 그렇다면 Θ는 어떨까요? 이미 말했습니다 Θ는 -π/2와 π/2 사이에서만 값을 가지도록 제한되어 있습니다 -π/2와 π/2는 포함되지 않습니다 기울기가 수직이 되기 때문이죠 이제 저는 평범한 탄젠트 함수를 다루겠습니다 역함수 말고요 탄젠트 함수의 정의역은 어떤 값이든지 될 수 있습니다 탄젠트 역함수에서는 1에서 여러 개의 치역을 가질 수 없습니다 이 값들은 지워버립니다 Θ, 즉 치역의 범위를 -π/2부터 π/2로 제한합니다 치역의 범위를 양끝점을 제외한 값들로 제한할 것입니다 그러면 단 하나의 답을 얻습니다 어떤 값의 tan값이 -1이 될까요? 이미 대답한 질문입니다 답은 오직 1개입니다 원을 계속 돌다보면 tan값이 -1이 되는 값을 찾을 수 있겠지만 치역의 범위에 포함되지 않습니다 답이 맞는지 확인해봅시다 구하는 값은 π/4입니다 계산기를 써서 확인해봅시다 tan-1(-1)은 이 값이 됩니다 -π/4와 같은지 확인해봅시다 -π/4는 이 값이 됩니다 -π/4입니다 계산기를 쓰지 않고 구한 것은 성과인데 이 숫자가 -π/4라는 것을 알기 어렵기 때문입니다