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주요 내용
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동영상 대본

저는 이미 arcsin과 arctan에 대한 영상을 만들었었고 이제 완성도를 위해 arccos에 대해 설명하고자 합니다 그리도 다른 삼각함수의 역수처럼 arccon은 같은 과정을 거칩니다 만약 제가 여러분께 arccos x = θ라고 한다면 만약 제가 여러분께 arccos x = θ라고 한다면 이 문장은 cos x의 역함수 값이 θ라는 것과 같은 뜻의 문장입니다 이들은 똑같은 것을 다른 방법으로 나타낸 것입니다 그리고 다음에 제가 또 다른 삼각함수의 역수를 설명한다면 저는 바로 이걸 떠올릴 것입니다 설명한다면 저는 바로 이걸 떠올릴 것입니다 제 뇌는 바로 이게 말하는 것은 어떤 θ의 cos값을 구한다면 x가 나올 것이라고요 아니면 위의 문장을 얘기할 것입니다 다른 함수들도 이런 과정을 거칩니다 만약 제가 cos x의 역함수를 구한다면 제 뇌는 어떤 수의 cos 값이 x인지를 떠올릴 것입니다 예시를 풀어보겠습니다 예를 들어 arccos(-1/2)을 구한다고 합시다 예를 들어 arccos(-1/2)을 구한다고 합시다 제 뇌는 이 값이 어떤 각도와 같다는 것을 떠올릴 것입니다 제 뇌는 이 값이 어떤 각도와 같다는 것을 떠올릴 것입니다 그리고 이 문장은 그 각도의 cos 값이 -1/2라는 것도 알고 있습니다 그리고 이 문장을 떠올리게 된다면 최소한 제 뇌에서는 더욱더 과정이 쉬워질 것입니다 그렇다면 답을 찾기 위해 단위원을 그리도록 하겠습니다 그렇다면 답을 찾기 위해 단위원을 그리도록 하겠습니다 그렇다면 답을 찾기 위해 단위원을 그리도록 하겠습니다 만약 자를 두고 그린다면 더 쉽게 그리겠네요 만약 자를 두고 그린다면 더 쉽게 그리겠네요 봅시다 이 방법은 너무 어렵네요 봅시다 이게 y축입니다 똑바른 축은 아니지만 계속 진행하겠습니다 단위원을 그리겠습니다 원보다 타원을 더 닮았지만 이해하셨기를 바랍니다 그리고 단위원에서 정의되는 각도의 cos은 단위원의 x값입니다 그래서 이 각도를 대입시키면 x값은 -1/2일 것입니다 그래서 여기가 -1/2입니다 그리고 θ값을 구하기 위한 각도는 x값이 -1/2일 때 단위원과 교차하는 각도입니다 x값이 -1/2일 때 단위원과 교차하는 각도입니다 봅시다 이 각도가 구해야 할 각도입니다 봅시다 이 각도가 구해야 할 각도입니다 이 값이 우리가 구할 θ입니다 어떻게 구할 수 있을까요? 이건 -1/2입니다 다른 각도들도 구해보겠습니다 저는 이 부분에 있는 각도를 구해보겠습니다 저는 이 부분에 있는 각도를 구해보겠습니다 이 각도를 구하기 위해서는 이 각도를 180에서 빼서 이 문제의 해답인 하늘색 각도를 구해보겠습니다 이 문제의 해답인 하늘색 각도를 구해보겠습니다 먼저 삼각형을 약간 확대해보겠습니다 그래서 이 삼각형은 이렇게 보입니다 그래서 이 삼각형은 이렇게 보입니다 이 거리는 1/2입니다 이 부분의 거리가 1/2입니다 이 부분의 거리는 1입니다 여러분이 짐작하였듯이 이 삼각형의 각도는 각각 30, 60, 90 삼각형입니다 여러분은 마지막 변도 구할 수 있을 것입니다 마지막 변의 길이는 √3/2일 것입니다 그리고 이 변의 길이를 구하기 위해서는 피타고라스의 정리가 이용됩니다 사실, 이걸 다르게 부르겠습니다 이 부분은 a라고 부르겠습니다 따라서 a² + 1/4는 1² 즉 1일 것입니다 따라서 a² + 1/4는 1² 즉 1일 것입니다 따라서 a²는 3/4일 것이고 이말은 즉 a가 √3/2임을 뜻합니다 그래서 이 삼각형은 30°, 60°, 90°를 가진 삼각형입니다 그리고 이 삼각형의 성질 때문에 빗변의 길이가 각각 1, 1/2, √3/2라면 길이가 √3/2인 변의 반대쪽의 각도는 60°일 것입니다 이게 60°이고 이건 90°입니다 이게 직각이고 이 부분이 30°입니다 하지만 우리가 주목할 각도는 이 부분입니다 우리는 방금 이 각도가 60°임을 알아냈습니다 그렇다면 이 값은 무엇일까요? 이 큰 각도의 값은 무엇일까요? 어떤 각도에서 60을 빼야 할까요? 180°에서 빼야 합니다 따라서, cos 함수의 역함수 즉 arccos의 값은 적어보겠습니다 arccos(-1/2)의 값은 120°입니다 제가 180을 적어놨나요? 아닙니다, 이건 180 - 60입니다 전체가 180°이고요 그래서 이 부분은 120°입니다 맞나요? 120 + 60 = 180입니다 만약 라디안 값을 원한다면, 120° × (π라디안 ÷ 180°)을 구하면 됩니다 12/18은 2/3이므로 이 값은 2π / 3라디안입니다 12/18은 2/3이므로 이 값은 2π / 3라디안입니다 이제, arcsin과 arctan 강의에서 보신 것처럼 만약 2π/3의 cos값이 -1/2라면 만약 2π/3의 cos값이 -1/2라면 cos(2π/3) = -1/2라고 쓸 수 있을 것입니다 cos(2π/3) = -1/2라고 쓸 수 있을 것입니다 이 문장은 여러분에게 위의 문장과 같은 의미를 부여합니다 하지만 저는 단위원을 계속 관찰하겠습니다 예를 들어, 여기 있는 부분은 어떻게 할까요? 이 각도의 cos값도 이 값을 더한다면 -1/2가 될 것입니다 그리고 저는 2π의 거리를 돌아서 되돌아올 것입니다 그래서 이 각도들의 cos 값은 -1/2일 것입니다 이제 우리는 arccos 함수가 가질 수 있는 값을 제한해야 할 것입니다 제한해야 할 것입니다 그러니까 치역을 제한하는 것입니다 그러니까 치역을 제한하는 것입니다 치역을 상반구로 즉 첫 번째와 두 번째 사분면으로 제한합니다 만약 x의 arccos 값이 θ와 같다고 한다면 θ의 범위를 여기까지 제한해야 할 것입니다 θ의 범위를 여기까지 제한해야 할 것입니다 그래서 θ는 0보다 크고 2π보다 작거나 같아야 할 것입니다 2π가 아니라 π입니다 죄송합니다 0보다 크고 π보다 작거나 같아야 합니다 0은 0도이고 π는 180도를 뜻합니다 다시 말해서 식의 범위를 이렇게 줄인 것입니다 다시 말해서 식의 범위를 이렇게 줄인 것입니다 그리고 이 점은 각도의 cos 값이 -1/2가 되는 유일한 점입니다 이 각도는 범위에 벗어나기 때문에 계산할 수 없습니다 그렇다면 x의 유효한 값은 무엇일까요? 모든 각도에 대한 cos 값은 -1과 1 사이일 것입니다 따라서, arccos 함수에 대한 x는 1보다 같거나 작고 -1보다 같거나 클 것입니다 지금까지 한 것을 확인해보겠습니다 -1/2의 arccos 값은 TI-85를 사용해 -2π/3으로 계산했습니다 TI-85를 사용해 -2π/3으로 계산했습니다 이렇게 값이 나옵니다 그래서 저는 cos의 역함수, 즉 -0.5의 arccos 값을 구해야 합니다 이 값은 이상한 숫자들로 이루어졌습니다 이 값이 -2π/3과 같은 값인지 확인해보겠습니다 -2π/3의 값은 다음과 같습니다 정확히 같습니다 이 계산기가 저에게 정확한 값을 준 것입니다 하지만 이 방법은 필요없습니다 이 수가 필요없는 건 아닙니다 이 수도 정답입니다 하지만 정확한 답은 아닙니다 저는 이 수가 -2π/3인 줄 몰랐습니다 그리고 이 식들을 이용하면 답을 얻을 수 있습니다 여러분에게 이 문제의 마지막을 설명드리고자 합니다 그러기 위해서는 이 모든 식들이 적용됩니다 제가 여러분에게 cos( arccos x)의 값을 묻는다면 어떻게 할까요? cos( arccos x)의 값을 묻는다면 어떻게 할까요? 사실 문장의 이 부분은 arccos x가 θ와 같다는 것이고 그 말은 cos θ = x라는 것입니다 그래서 만약 arccos x가 θ와 같다면 이 값을 θ로 대체할 수 있습니다 그리고 cos θ = x이기 때문에 위 식의 값은 x일 것입니다 여러분이 햇갈리지 않았길 바랍니다 제 말은, 괄호 안의 값이 θ가 되고 함수들의 정의에 의해 cos θ = x가 되는 것입니다 함수들의 정의에 의해 cos θ = x가 되는 것입니다 두 식은 같은 의미를 지니고 있습니다 두 식은 같은 의미를 지니고 있습니다 만약 여기 θ 값을 넣는다면 θ의 cos 값이 되고 이는 x와 같습니다 이제 추가로 더 어려운 질문을 해보겠습니다 만약 제가 여러분에게 x에 대해 질문한다면 물론 이 식에 들어가는 모든 x에 대해서입니다 -1과 1 사이에 있는 임의의 값 x에 대하여 이 식은 성립이 됩니다 이제 제가 arccos(cos θ)는 무엇인지 묻는다면요? 이제 제가 arccos(cos θ)는 무엇인지 묻는다면요? 이 값은 무엇과 같을까요? 제 정답은 θ에 의해 달라진다는 것입니다 그래서 만약 θ가 범위 안에 있다면 만약 θ가 0과 π 사이에 있다면 arccos을 구할 수 있을 것이고 그 값이 이 조건식을 성립한다면 그 값은 θ일 것입니다 그 값이 이 조건식을 성립한다면 그 값은 θ일 것입니다 하지만 조건식을 성립하지 않는다면 어떨까요? 제가 해결해보겠습니다 예를 들어서 조건식을 성립하는 θ를 이용하겠습니다 아는 각으로 cos의 arccos를 계산해보죠 아는 각으로 cos의 arccos를 계산해보죠 2π / 3로 해보겠습니다 2π / 3로 해보겠습니다 2π / 3로 해보겠습니다 cos 2π/3를 사용하면 이는 arccos -1/2과 같습니다 cos 2π/3 = -1/2입니다 이 영상의 초반부에서 이미 보았죠 그리고 이걸 풀었었습니다 이게 π/3이라고 했습니다 θ가 0과 π 안에 있으면 괜찮습니다 그리고 이는 arccos 함수의 범위가 0과 π 사이에서만 유효하기 때문입니다 제가 arccos(cos 3π)가 무엇인지 묻는다면 어떻게 할까요? 제가 arccos(cos 3π)가 무엇인지 묻는다면 어떻게 할까요? 제가 여기서 단위원을 그려보면 제가 여기서 단위원을 그려보면 그리고 이게 축입니다 3π는 무엇인가요? 2π는 한 바퀴를 의미합니다 그리고 반 바퀴를 더 돌아서 여기 멈추게 되기 때문에 한 바퀴 반입니다 그래서 이게 3π입니다 x좌표는 어디 있나요? 이게 -1입니다 그러면 3π의 cos은 -1입니다 그렇다면 -1의 arccos은 무엇입니까? -1의 arccos은 -1의 arccos은 상반구로 범위가 제한되어 있습니다 즉 값이 π와 0 사이로 제한되어 있다는 것입니다 그래서 -1의 arccos은 π일 것입니다 그래서 이건 π일 것입니다 -1의 arccos 값은 π입니다 -1의 arccos 값은 π입니다 그리고 이는 신뢰성 있는 문장입니다 왜냐하면 π와 3π의 차이는 그래프를 몇 바퀴 도는 것이기 때문입니다 π와 3π의 차이는 그래프를 몇 바퀴 도는 것이기 때문입니다 단위원에서 같은 지점에 있는 것이죠 단위원에서 같은 지점에 있는 것이죠 그래서 저는 이 값들은 신경쓰지 않습니다 하지만 이 값들은 쓸모있는 값들입니다 위에 써놓겠습니다 이 값들은 중요합니다 cos(arccos x)의 값은 언제나 x일 것입니다 이는 sin으로도 표현이 가능합니다 sin(arcsin x)의 값은 또한 x일 것입니다 이건 유용한 것들로 잘못 외울 수 있으니 그냥 외우지 마시고 잠시 생각해보시기 바라겠습니다 그러면 절대 잊지 않을 것입니다