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역탄젠트 함수의 정의역과 치역

동영상 대본

g(x)=tan(x-3π/2)+6 일때 g의 역함수를 구하라는 문제가 주어졌습니다 여기에 쓰길 원하고 있습니다 또한 이 문제에서는 g 역함수의 정의역도 구하라고 합니다 g 역함수의 정의역 스크래치판이 있습니다 이 문제를 여기다가 풀겠습니다 g의 역함수가 무엇인지 알아봅시다 이것이 g(x)입니다 그냥 읽겠습니다 여기 있는 것이 g(x)입니다 g(x)는 tan(x-3π/2)+6 입니다 g의 역함수는 바꾸면 x를 g의 역함수로 바꿀 수 있고 g(x)를 x로 바꿀 수 있습니다 그리고 나서 g의 역함수에 대해 풉니다 써보면 x=tan(g의 역함수 -3π/2)+6입니다 g의 역함수에 대해 그냥 풉시다 저는 이 비디오를 멈추길 권장합니다 그리고 혼자서 이 문제를 풀기를 바랍니다 양변에 6을 뺍시다 여기 있는 6을 없애기 위해서 그러면 x-6=tan(g역함수 -3π/2) 가 남습니다 이제 tan의 역함수를 양변에 취합시다 그러면 arctan를 좌변에 취해주면 arctan(x-6)이 됩니다 우변을 arctan 취해주면 arctan의 tan 적절한 방향으로 정의역을 제한해주면 그리고 그것에 대해서는 약간만 말하겠습니다 tan함수 안에 들어있는게 무엇인지 보겠습니다 맞는 방향으로 정의역을 제한하면 arctan의 tan의 무언가 세타 라고 합시다 그러면 세타가 될 것입니다 다시 한번 정의역을 제한하면 우리가 세타 값으로 가능한 값들을 적절히 제한하면 저걸 하고 있다고 가정합시다 arctan의 tan의 이것은 여기 있는 바로 이것이 될 것입니다 저것이 될 것입니다 그냥 g의 역함수 x 빼기 3π/2입니다 최종단계만 남았습니다 g의 역함수가 무엇인지 알기 위한 양변에 3π/2를 더해줍니다 그리고 양변을 바꿔주면 g의 역함수가 arctan(x-6)에 3π/2를 더하면 이쪽에 있는 것이 이것입니다 더하기 3π/2 써놓읍시다 그리고 기억할 수 있는지 봅시다 이것을 지울 것이기 때문입니다 arctan(x-6)+3π/2 써봅시다 쳐보면 g의 역함수는 artan의 이렇게 쓸 수 있습니다 arctan(x-6) 잘 해석했습니다 tan의 역함수는 arctan(x-6)+3π/2 그리고 잘 해석했습니다 그러면 이제 생각해보아야 합니다 g역함수의 정의역은 무엇입니까? g역함수의 정의역은 무엇입니까? 조금만 더 생각해 봅시다 g역함수의 정의역 tan가 어떤지 생각해봅시다 tan함수, 단위 원을 생각해보면 저기 있는 것이 단위 원입니다 단위 원이라고 생각합시다 펜 도구가 움직이고 있습니다 약간의 차이를 두고 뚫을 수 있을 것 같습니다 말해봅시다 단위 원이라고 주장하기 위해서 이것이 x축이고 저것은 y축입니다 세타라는 각을 만들면 여기에 세타라는 각을 만들면 tan세타는 이 기울기입니다 최종 광선의 혹은 각도의 최종 광선이라고 부를 수 있습니다 이 선과 x축의 양의 부분과 평행한 선의 각도 입니다 tan세타는 저기 있는 기울기입니다 그리고 당신은 몇개를 빼고는 모든 tan세타 값을 알 수 있습니다 당신은 저것의 tan를 찾을 수 있습니다 저기서의 기울기를 찾을 수 있습니다 저기서의 기울기도 찾을 수 있습니다 당신은 또한 저것의 기울기도 구할 수 있습니다 저것의 기울기도 찾을 수 있습니다 하지만 기울기를 찾을 수 없는 곳은 이 선이 수직으로 올라갈 때 입니다 혹은 수직으로 내려갈 때 입니다 저것들이 기울기를 찾을 수 없는 경우들입니다 저것의 기울기는 양의 무한대로 가거나 음의 기울기로 간다고 말할 수 있습니다 tan의 정의역 정의역은 모든 실수가 될 것입니다 몇 를 제외하고는 나누기 π/2 + π의 배수라고 말할 수 있습니다 π/2+π의 배수를 제외하고는 k는 모든 정수입니다 즉 π를 빼도 됩니다 π/2가 있을 때 π를 더하면 수직 아래로 갈 것입니다 π를 또 더하면 위로 갈거고 π를 빼면 아래로 갈 입니다 π를 더하거나 빼면 저곳으로 갑니다 이것이 정의역입니다 하지만 주어진 정의역에서 당신은 모든 실수를 얻을 수 있습니다 이것의 치역은 모든 실수입니다 왜냐하면 어떠한 기울기도 얻을 수 있기 때문입니다 세타를 증가시키면 됩니다 더 큰 기울기를 원하면 저기있는 매우 작은 음의 기울기를 원한다면 세타를 줄이면 됩니다 어떠한 것도 얻을 수 있습니다 tan의 역함수에 대해서 얘기할 때에는 관례로 당신은 tan의 역함수가 존재하기 위해서는 두개의 치역을 갖지 않아야 합니다 정의역에 따라 치역의 같은 원소를 갖지 않아야 합니다 왜냐하면 예를 들어 저기있는 각도는 정확히 같은 기울기를 가집니다 여기 각도와 같은 tan값을 가지는 두개의 세타 값이 있으면 안됩니다 정의역을 제한하지 않으면 그래서 저것들중 하나만 갖게 하지 않으면 역함수가 존재하지 않을 것입니다 그래서 관례로 tan를 역함수로 만들기위해 정의역을 제한합니다 -π/2에서 +π/2 까지의 구간으로 tan 역함수를 만들기 위해서 tan의 역함수에는 어떠한 실수를 넣어도 됩니다 그래서 tan역함수의 정의역은 이것은 그냥 관례입니다 tan의 정의역을 제한했을 것이기 때문에 오직 하나의 세타만이 있습니다 특정한 치역의 원소 값이 되는 하지만 관례로 tan 역함수는 관레는 tan의 정의역을 -π/2에서 +π/2사이로 제한하는 것입니다 tan 역함수의 정의역은 모든 실수이지만 치역은 제한됩니다 그것의 치역은 관례입니다 -π/2와 +π/2 사이가 되고 각각은 포함하지 않습니다 이제 원래의 문제로 돌아갑시다 g역함수의 정의역은 무엇입니까? g역함수의 정의역을 봅시다 g역함수의 정의역은 이곳에 모든 실수를 넣어도 됩니다 이제 여기서 나올 값은 무언가가 될 것입니다 -π/2에서 +π/2 사이의 하지만 문제에선 g역함수 치역의 범위를 물어보고 있는것이 아닙니다 사실 더 흥미있는 질문입니다 문제에선 g역함수의 정의역을 물어보고 x에 모든 실수값을 넣을 수 있습니다 여기에 넣읍시다 g 역함수의 정의역은 음의 무한대에서 양의 무한대입니다 하지만 그냥 재미로 문제를 맞게 풀었는지 증명해봅시다 우리는 문제를 해결했지만 그냥 재미로 사실 전 궁금합니다 g역함수의 치역이 무엇이 될지 생각해봅시다 여기있는 것의 치역은 -π/2에서 +π/2 사이가 될 것입니다 저것은 이 부분에 해당합니다 그리고 거기에 3π/2를 더할 것입니다 전체 함수의 치역은 이것의 치역은 구간 중 낮은 값에 3π/2를 더하면 2π/2가 될 것입니다 그것은 그냥 3π/2 - π/2는 2π/2 즉 π가 될 것입니다 그리고 3π/2에 π/2를 더하면 4π/2가 되고 이 값은 2π입니다 g역함수의 치역은 π에서 2π입니다 그리고 이것은 개구간입니다 경계값을 포함하지 않습니다 정의역에는 모든 값을 넣을 수 있습니다 그러면 정의가 될 것입니다