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주요 내용
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동영상 대본

이미 이 영상에서 다룰 삼각함수 공식에 관한 이미 이 영상에서 다룰 삼각함수 공식에 관한 다양한 동영상을 만들었습니다 이를 하는 이유는 복습을 위해서입니다 미적분학 문제를 풀기 위해 이를 알아야하고 이제 더 나은 녹음 소프트웨어가 있으니 일석이조로 동영상도 다시 찍고 새로운 마음가짐도 가져보기로 했습니다 삼각함수 공식은 이미 알고 있다고 가정하겠습니다 동영상도 이미 있고 증명하기도 복잡하니까요 sin(a + b)는 sin a x cos b + sin b x cos a입니다 sin a x cos b + sin b x cos a입니다 첫 번째 식은 우리가 아는 식입니다 이제 조금 다른 형태의 sin을 알아봅시다 sin(a + (-c))는 무엇일까요? 이는 a - c와 같습니다 위의 식을 이용하면 sin a x cos(-c) + sin(-c) x cos a입니다 sin a x cos(-c) + sin(-c) x cos a입니다 이미 cos(-c)는 cos c와 같다는 것을 안다고 가정합시다 cos은 우함수입니다 cos함수의 그래프나 단위원을 그려보면 알 수 있습니다 sin은 기함수입니다 sin(-c)는 -sin c와 같습니다 이 정보를 이용하여 2번째 줄을 다시 써봅시다 sin(a - c)는 sin a x cos c와 같습니다 cos(-c)와 cos c는 같기 때문이죠 cos c는 같기 때문이죠 그리고 -sin c가 옵니다 sin(-c) 대신에 -sin c를 쓸 수 있습니다 -sin c x cos a입니다 위 두 식을 이용하여 아래 식을 약간 증명했습니다 좋습니다 이러한 사실들을 이용해 더 많은 삼각함수 공식들을 증명해 봅시다 다른 성질은 cos(a + b)가 cos a 이 때는 cos과 sin을 섞지 않습니다 cos a x sin b sin과 cos을 섞지 말라했는데 실수로 섞었네요 x cos b - sin a x sin b cos (a - b)를 알고 싶다면 같은 특징을 이용하면 됩니다 cos(-b)는 cos b입니다 cos a x cos b cos(-b)는 cos b와 같습니다 그러나 sin(-b)는 -sin b와 같으므로 음수 부호가 없어져서 +sin a sin b가 됩니다 음수 부호가 없어져서 +sin a sin b가 됩니다 약간 헷갈립니다 안이 +이면 -이고 안이 -이면 +입니다 어쨋든 좋습니다 아직 더 많은 공식들이 남았으니 너무 깊이 생각하지는 맙시다 cos 2a의 성질을 생각해 봅시다 cos 2a의 성질을 생각해 봅시다 cos 2a는 cos (a + a)와 같습니다 위의 형식을 이용할 수 있습니다 두번째 a가 b라면 cos a x cos a -sin a x sin a입니다 b가 a로 바뀌었으므로 다시 적으면 cos a의 제곱 같은 cos을 두 번 곱했습니다 - sin a의 제곱입니다 공식 하나를 도출했네요 cos 2a는 cos a의 제곱 -sin a의 제곱입니다 만든 공식은 박스로 표시하겠습니다 만든 공식은 박스로 표시하겠습니다 하나를 끝냈습니다 아직 만족스럽지 못합니다 cos의 식으로만 표현할 수 없을까요? 삼각함수의 단위원 정의를 이용할 수 있습니다 삼각함수의 단위원 정의를 이용할 수 있습니다 이는 가장 기본적인 공식입니다 sin² a +cos² a =1입니다 sin² a +cos² a =1입니다 더 적절한 방법으로 써봅시다 더 적절한 방법으로 써봅시다 sin a의 제곱은 1-cos a의 제곱입니다 이를 이용해 치환해 봅시다 이 공식을 다시 쓸 수 있습니다 sin² a - cos² a인데 sin² a는 이와 같습니다 다른 색으로 씁시다 -(1 - cos² a) sin² a를 치환했습니다 이는 cos² a - 1 + cos² a입니다 이는 cos² a - 1 + cos² a입니다 이는 다음과 같습니다 오른쪽에 계속 써봅시다 cos² a가 2개 있으므로 2ccos² a - 1입니다 이 모든 것은 cos 2a와 같습니다 이 모든 것은 cos 2a와 같습니다 이제 cos의 제곱을 cos 2a로 표현할 수는 없을까요? 한 번 해봅시다 양변에 1을 더합시다 써봅시다 이는 우리가 찾은 또 다른 공식입니다 양변에 1을 더하면 2ccos² = cos 2a + 1입니다 양변을 2로 나누면 ccos² = 1/2(1 + cos 2a)입니다 cos² = 1/2(1 + cos 2a)입니다 끝났습니다 또 다른 공식을 찾았습니다 cos²a는 이것입니다 이는 제곱 축소 성질이라고도 불립니다 그렇다면 sin²a는 무엇일까요? 위로 돌아가서 sin² a = 1 - cos² a라는 공식을 이용할 수 있습니다 sin² a = 1 - cos² a라는 공식을 이용할 수 있습니다 다른 방법을 쓸 수도 있습니다 양변에서 sin² a를 빼면 여기 적어봅시다 양변에서 sin² a를 빼면 cos² a = 1 - sin² a입니다 이 식으로 돌아가봅시다 적어봅시다 cos 2a는 cos²a 대신에 1 - sin² a를 쓰고 sin² a를 뺍니다 sin² a를 뺍니다 그러면 cos 2a는 무엇과 같을까요? 한 번 봅시다 -sin²a가 두 개 있습니다 -sin²a가 두 개 있습니다 결국 1 - 2sin² a가 됩니다 또 다른 공식을 찾았습니다 cos 2a를 다른 방법으로 쓸 수 있습니다 다양한 방법으로 cos 2a를 표현해봤습니다 만약 sin²a를 알고 싶다면 양변에 이를 더해봅시다 빈 곳에 적어봅시다 칠판을 좀 내려서 써봅시다 양변에 2sin² a를 더하면 2sin² a + cos 2a = 1이 되고 양변에 cos 2a를 뺍시다 2sin² a = 1 - cos 2a입니다 양변을 2로 나눠주면 sin² a = 1/2(1 - cos 2a)입니다 우리는 또 다른 공식을 찾았습니다 우리는 또 다른 공식을 찾았습니다 흥미롭습니다 대칭을 찾는 것은 재밌습니다 이 둘은 똑같은데 cos² a에는 +가 있고 sin² a에는 -가 있는 것 빼고 모두 동일합니다 이미 여러 재밌는 공식을 찾았습니다 이제 sin 2a에 관련된 공식을 찾아봅시다 이제 sin 2a에 관련된 공식을 찾아봅시다 새로운 색으로 써봅시다 색을 거의 모두 다 썼습니다 sin 2a는 sin(a + a)입니다 이는 sin a cos a에 이는 sin a cos a에 이는 sin a cos a에 이 cos는 두 번째 a로 볼 수 있습니다 이 cos는 두 번째 a로 볼 수 있습니다 여기에 sin(a + b) 공식을 써서 두 번째 a의 sin과 첫 번째 a의 cos를 곱해 더해줍니다 두 번째 a의 sin과 첫 번째 a의 cos를 곱해 더해줍니다 똑같은 걸 두 번 썼으므로 2sin a cos a입니다 좀 더 간단합니다 sin 2a는 이와 같습니다 또 다른 결론이 나왔네요 또 다른 결론이 나왔네요 sin, cos과 노는 것에 약간 지쳤습니다 미적분학 문제에도 필요한 모든 결과들을 얻을 수 있었고 제게도 좋은 복습이었듯 여러분도 좋은 복습이었으면 좋겠습니다 이들을 적어 두어도 됩니다 원한다면 이들을 외워도 되지만 더 중요한 것은 이 모든 것을 기초적인 식으로부터 유도할 수 있다는 것을 깨닫는 것입니다 우리가 해본 것처럼 이것조차도 기본적인 삼각함수의 정의로부터 증명할 수 있습니다