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주요 내용
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동영상 대본

오늘 우리가 증명할 것은 sin의 합 공식입니다 즉, sin(x+y)가 즉, sin(x+y)가 sin x*cos y + cos x*sin y 라는 것이 보일 겁니다 sin x*cos y + cos x*sin y 라는 것이 보일 겁니다 이것을 증명하기 위해서 이 그림을 사용하겠습니다 여기 빨간색 직각삼각형이 있습니다 이 직각삼각형의 빗변의 길이는 1입니다 이 직각삼각형은 삼각형 ADC라고 부를 수 있겠죠 삼각형 ADC는 삼각형 ACB의 빗변 위에 겹쳐져 있습니다 이 삼각형을 파란색으로 표시하겠습니다 이 삼각형을 파란색으로 표시하겠습니다 삼각형 ADC의 밑변인 AC는 삼각형 ABC의 빗변과 같습니다 두 삼각형은 이런 모양으로 겹쳐져 있습니다 첫 번째로 생각해야 할 것은 여기에서 sin(x+y)가 무엇을 의미할까요? x+y는 이 각도 전체를 의미합니다 삼각형 ADF를 생각해 봅시다 어떤 각도의 sin 값은 대변과 빗변의 비율입니다 빗변의 길이는 1이므로 sin 값은 대변의 길이를 1로 나눈 것과 같습니다 즉, sin(x+y)는 대변의 길이와 같습니다 그렇다면 sin(x+y)의 값은 변 DF의 길이와 같을 겁니다 우리가 이제 할 것은 이 길이를 구하기 위해 변 DF를 두 부분으로 나누어 생각할 겁니다 변 DF의 길이는 변 DE의 길이와 변 EF의 길이의 합입니다 정리해보면 변 DF의 길이는 sin(x+y)와 같습니다 그리고 그 길이는 변 DE의 길이와 변 EF의 길이를 합하여 구할 수 있습니다 변 EF의 길이는 변 CB의 길이와 같죠? 사각형 ECBF가 직각사각형이므로 변 EF의 길이는 변 CB의 길이와 같습니다 따라서 변 DF의 길이는 변 DE의 길이와 변 CB의 길이를 더한 것과 같습니다 다시 한 번 정리해보면 sin(x+y)는 변 DF의 길이와 같고 변 DF의 길이는 변 DE와 변 CB 각각의 길이를 더한 것입니다 지금까지 알아낸 것을 바탕으로 변 DE의 길이를 삼각함수와 x, y로 나타내 보세요 마찬가지로 변 CB도 나타내 보세요 마찬가지로 변 CB도 나타내 보세요 이 그림을 활용하면 아마 할 수 있을 겁니다 모두 시도해 보았죠? 그럼 sin(x+y)가 이런 식으로 표현되는지 한 번 같이 해봅시다 이 그림에서 변의 길이와 각을 찾을 수 있는 만큼 찾아봅시다 빨간 직각삼각형부터 해봅시다 빗변의 길이가 1이면 변 DC의 길이는 무엇일까요? 각 x의 대변이므로 sin x는 변 DC의 길이와 같습니다 sin x는 변 DC의 길이와 같습니다 이 길이는 sin x입니다 변 AC의 길이도 같은 논리로 cos x라는 것을 알 수 있습니다 cos x라는 것을 알 수 있습니다 변 AC의 길이가 cos x라는 것을 알아냈습니다 이제 다른 삼각형으로 넘어갑시다 삼각형 ACB를 봅시다 변 CB의 길이는 어떻게 알 수 있을까요? sin y는 어떻게 나타내어지죠? 변 CB의 길이와 빗변 사이의 비로 나타내어집니다 빗변의 길이는 cos x라는 것을 알아냈습니다 이쯤 되면 풀이의 방향이 눈에 보일 것입니다 할 수 있겠다는 생각이 들면 영상을 멈추고 직접 해보세요 여기서 양변에 cos x를 곱하면 여기서 양변에 cos x를 곱하면 변 CB의 길이는 cos x*sin y라는 것을 알 수 있습니다 우리가 구한 변 CB의 길이가 이 식에도 있다는 것을 알 수 있습니다 증명을 마무리하기 위해서 변 DE의 길이가 이 부분과 같다는 것을 보이겠습니다 그것만 보이고 나면 이 두 변의 길이의 합이 변 DF의 길이, 즉 sin(x+y)와 같으므로 증명이 마무리됩니다 그럼 변 DE의 길이를 구해 봅시다 어떤 각을 이용하면 될까요? 이 각이나 이 각을 이용하면 될 것 같습니다 이 각도를 알아낸다면 변 DE의 길이를 이 각도와 sin x로 나타낼 수 있습니다 그럼 이 각도를 한 번 찾아봅시다 이 각의 크기는 y이고 이 삼각형은 직각삼각형입니다 변 EC는 변 AB와 평행합니다 따라서 이 각의 크기와 이 각의 크기는 같습니다 변 AC가 있고 변 EC와 변 AB가 평행이면 두 각은 같습니다 이 각이 y면 이 각은 90-y입니다 이 각이 90도이고 이 각이 90-y이므로 두 각을 더하면 180-y가 됩니다 삼각형의 내각의 합은 180도이므로 이 각의 크기는 y입니다 확인해보면 y+(90-y)+90은 180도가 됩니다 이제 우리가 할 것은 변 DE를 y와 sinx로 나타내는 것입니다 변 DE가 각에 인접해 있으므로 cos과 연관지을 수 있습니다 삼각형 DEC를 살펴보면 삼각형 DEC를 살펴보면 cos y는 변 DE와 빗변, 즉 sin x의 비와 같습니다 이제 양변에 sin x를 곱하면 이제 양변에 sin x를 곱하면 변 DE의 길이가 sin x * cos y라는 것을 알 수 있습니다 이제 변 DE의 길이와 변 CB의 길이를 더하면 이제 변 DE의 길이와 변 CB의 길이를 더하면 증명이 끝납니다 이렇게 sin의 합 공식을 증명할 수 있습니다 이렇게 sin의 합 공식을 증명할 수 있습니다