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동영상 대본

등비수열에 대해 이야기해보려고 합니다 이 것은 수열의 집합으로써 우리가 어떤 수에서 시작하면 연속하는 숫자가 이전의 숫자가 되어서 같은 수로 계속해서 곱해지는 것입니다 제가 무슨 말을 하고 있는 것이냐고요? 그렇다면 a×r을 해봅시다 그렇게 되면 저는 ar을 가지게 됩니다 세번째의 수를 얻기 위해 이 것을 곱합시다 두번째 수에 r을 곱합시다 그렇다면 우리는 무엇을 가지게 되나요? 우리는 --아 이것은 다른 노랑색이네요-- ar²을 가지게 됩니다 r로 다시 곱하게 되면 여러분은 ar³d을 가지게 되고 여러분은 이 일을 계속하시면 됩니다 그래서 이 것이 제가 무한대로 가는 수열을 표시하는 방법입니다 여러분은 계속해서 하시면 됩니다 우리가 다르게 이 무한대수열을 표시할 수 있는 방법은 우리가 명확하게 표시할 수 있습니다 우리는 수열이 an에서 시작해서 무한대로 계속해서 나아가고 an이-- 우리가 여기서 볼 수 있듯 아무 수에서나-- r을 곱하게 됩니다 그리고 확실히 하기 위해서 여기에 있는 a는 r을 0의 제곱, 즉 1을 곱한 것이라고 할 수 있습니다 여기 두번째 수은 a에 r의 1제곱이 곱해진 것이고 세번째 수는 a에 r의 2제곱이 곱해진 것입니다 그래서 n번째의 수는 a에 r을 n-1만큼 제곱한 수가 될 것입니다 그래서 ar^n-1 여러분은 이를 확인할 수 있습니다 두번째 수를 확인해보고 싶다면, 여러분은 ar^2-1을 해보시면 됩니다 ar이 나오게 됩니다 이 식이 잘 적용됩니다 이 것이 명쾌하게 정의해줍니다 우리는 이를 재귀적으로 정의할 수도 있습니다 우리는 an이 1에서 무한대로 나가고 a1은 a와 같습니다 그리고 이 것은 기초적인 예시입니다 a1은 a와 같게 되고 r이 0이거나 n이 1이면 a가 됩니다-- 이 것은 a1이 a임을 우리가 이미 너무 명확하게 해놓아서 제가 쓰지 않아도 될 것 같습니다 -- 우리는 an이 전 항의 수인 an-1×r과 n이 2이상이라는 전제에서는 같다고 할 수 있습니다 이 것은 말하고 있는데 우리의 첫번째 수가 a가 되고, 저기에 있는 a는 r이 0으로 가서 역시 0이 될 것이고 각각의 연속적인 수들은 전의 수에 r을 곱한 것과 같게 됩니다 그리고 이는 우리가 전에서 했던 것과 같습니다 그렇다면 이제 등비수열에 대해 찾아보도록 합시다 저는 이와 같은 등비수열을 얻게 됩니다 저는 an에서 n은 1에서 무한대로 증가하고 --an이 이와 같다고 말할 수 있는데요-- 우리의 첫번재 수가 저는 잘 모르지만 20과 같다고 합시다 그리고 우리가 연속적인 수열을 만들기 위해 곱하고 있는 r을 1/2라고 가정해보도록 합시다 1/2를 n-1제곱 했다고 가정합시다 그렇다면 과연 수열의 형태는 어떻게 될 수 있을까요? 그렇다면 생각해보도록 합시다 첫번째의 수는 20입니다 만약 n이 1이라고 하면 이 수열은 1/2의 0 제곱이 될 것입니다 그렇게 되면 1×20이 됩니다 그래서 첫번째의 수는 20이 되고 그러면 각각의 경우에는 무엇을 곱해야 하나요? 우리는 매번 1/2를 곱해야 합니다 그래서 20×1/2는 10이 되고 10×1/2는 5가 됩니다 5×1/2는 2.5-- 저는 이 것을 분수로 쓰겠습니다-- 5/2, 5/2×1/2는 5/4가 되고 여러분은 계속 이 과정을 진행하면 됩니다 이 것이 바로 등비수열입니다 제가 다른 수열을 하나 드리도록 하겠습니다 그리고 이 것이 등비수열이면 말해주세요 1로 시작해서 2가 되고 6이 되는 것이 진행된다고 하면-- 제가 원하는 수를 생각해보죠-- 저는 24를 원합니다 그리고 저는 이후로 120에도 도달하고 이를 계속 진행하려고 합니다 과연 이것은 등비수열인가요? 무슨 일이 일어나는지 생각해봅시다 1에서 2가 되려면 2를 곱해야 합니다 2에서 6이 되려면 3을 곱해야 합니다 6에서 24가 되려면 4를 곱해야 합니다 저는 계속해서 같은 값을 곱하고 있지 않습니다 그러나 여러분은 등비수열이 되기 위해 계속해서 같은 값을 곱해야 합니다 여기서 저는 다른 값을 곱하고 있습니다 그래서 제가 만든 이 수열은 첫번째 수를 가지고 두번째 수는 첫번째 가진 수에 2를 곱한만큼을 가지고 세번째의 수는 두번째 수의 3만큼을 곱하므로 a×2×3이 됩니다 네번째의 수는 3번째의 수에 4를 곱하므로 4×3×2×a 가 됩니다 그리고 우리는 이 것을 계속 반복해 나갈 것입니다 이 수열은 등비수열이 아니지만 우리는 명확히 이 수열을 정의할 수 있습니다 우리는 이 수열의 규칙을 혹은 이 수열의 an을 n이 1부터 무한대까지 증가하고 an의 4번째를 본질적으로 4!×a와 같다는 것을 알 수 있습니다 우리가 각각을 살펴보면 여기서 나타난 a는 1이고 이것을 제가 사실적으로 쓰면 이 것은 1이고 이 것은 2×1이고, 이것은 3×2×1입니다 이 것은 4×3×2×1입니다 an은 n!과 같게 되는 것입니다 여기 있는 것은 등비수열이 아닙니다 여기에 있는 설명을 따라가는 수열일 뿐입니다 조금더 연습합시다-- 여기 우리가 명확하게 증명하면서도 재귀적으로 설명해본 것이 있습니다 우리는 말할 수 있습니다-- 하얀색으로 쓰겠습니다--우리는 an이 n이 1부터 무한대로 증가하고 a1은 1과 같고 이는 우리의 첫번째 수가 됩니다 그리고 각각의 연속적인 수들은 전의 수들에 n을 곱한 것과 같아지게 됩니다 그리고 n번째의 항은 전 수에 n을 곱한 것과 같게 됩니다 우리는 이로써 새로운 증명을 또한번 한 것입니다 그리고 두번째의 수는 저느이 항에 2를 곱한 것과 같게 됩니다 그리고 n번째의 항은 전 수에 n을 곱한 것과 같게 됩니다 그리고 n번째의 항은 전 수에 n을 곱한 것과 같게 됩니다 우리는 이로써 새로운 증명을 또한번 한 것입니다 우리는 이로써 새로운 증명을 또한번 한 것입니다