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행렬을 통해 벡터 변환하기

동영상 대본

우리에게 지금 위치벡터 P가 주어졌다고 생각해 봅시다 P는 열(세로) 벡터이거나 아니면 그렇게 나타낼 수 있지요 여기 이렇게 2,1 이런 세로 벡터로요 이것을 그래프로 나타낸다면, 한번 나타내 볼까요 그래프로 P를 나타내려면 이것이 y축 여기는 x축이고요 만약 첫 대입값이 x축이라면 여기 1, 2 (2,1) 그래서 우리의 위치 벡터는 여기 이렇게 표현할 수 있습니다 이렇게 나타낼 수 있는 것입니다 이런 벡터 기호를 써서 꼬리 부분은 원점에 있고 머리 부분, 그러니까 끝 부분은 이 점에 있습니다 아니면 우리는 이 벡터가 진짜 위치를 나타내준다고 말할 수도 있겠지요 여기 이 위치를 말입니다 제가 이 비디오에서 하고 싶은 것은 이 위치벡터를 변환시키는 것입니다 어떤 방식으로 할 것이냐면 이 벡터 P를 행렬에다 곱하는 것인데, 이러면 우리는 다른 위치벡터를 얻게 됩니다 이게 과연 무슨 뜻일까요? 제가 지금 변환 행렬 T 가 있습니다 간단하게 T는 2, 1, -1, 2 라고 합시다 제가 T에 P를 곱하면 무엇이 될까요? 여기에 직접 해봅시다 T*P, 그러니까 우선은 가능한 계산인지부터 확인해 봅시다 이 행렬의 곱셈이 이렇게 정의되어 있는데요 T 와 P 가 어떻게 생겼는지 한번 봅시다 여기 복사해 붙여널게요 이것이 T이고 이것이 P이지요 우리는 2x2 행렬에 이런 열(세로)벡터를 곱할 수 있나요? (2x1 벡터인 셈인데요) 아시다시피 행렬의 곱셈은 최소한 관례적인 행렬의 곱셈은 첫번째 행렬의 열의 개수가 두번째 행렬의 행의 개수와 같을 때에만 정의가 됩니다. 여기 이렇게요 여기에는 두개 다 2이네요 그러니까 결과로 2X1 꼴의 행렬을 얻게 될 것이고요 흥미로운 점은 이것은 또 다른 열백터라는 점입니다 이것은 다른 하나의 위치벡터이지요 벡터 P를 가지고 변환 벡터에 곱하니 다른 2x1 꼴의 행렬 즉, 위치벡터로 생각할 수 있는 행렬을 얻었고 우리는 이것을 좌표상에 나타낼 수 있습니다 정확히 무슨 일이 일어났냐면 이 변환벡터가 이 점이 주어졌을 때 새로운 점으로 변환된다는 것입니다 이게 무슨 의미인지 생각해 봅시다 처음 대입값 우리가 처음에 생각할 값은 첫번째 행이지요 그리고 첫번째 그리고 유일한 열입니다 여기 아직 안 사용한 색깔을 쓰도록 할게요 우리는 그러니까 이 행과 이 열을 가지고 우선 생각해 볼게요 그러면 2x2 그러니까 4 더하기 1x1 그러니까 1 그러니 합은 5가 되겠군요 두번째 값은, 여기 써야하겠는데요 두번째 행과 첫번째 열을 봐야겠어요 두번째 행이 여기 있군요 그리고 여기 첫번째 그리고 유일한 행이 있고요 -1x2는 -2, 더하기 2x1는 2 그래서 -2+2는 0이 되군요 그러니까 우리는 지금 (5,0) 위치를 얻었습니다 바로 여기에요 1,2,3,4,5 그래서 처음에는 이 점이었는데 즉, 이 위치백터 P였는데 이것이 다른 위치벡터 그러니까 P'으로 변환되었어요 이 변화를 벡터로 그리고 싶다면 그러니까 일반적인 벡터 형태로 나타내고 싶다면 여기에는 P'이 있고요 여기에는 P가 있습니다 이게 P이고요 이게 P'입니다 P에서 P'를 얻은 방법은 이 변환 행렬을 이용한 것입니다