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행렬을 통해 다각형 변환하기

동영상 대본

우리는 이미 한 점을 이동시키기 위한 변환 행렬을 사용했습니다 이 강의에서 제가 하고 싶은것은 점들의 연속을 이동하는 것입니다 여기 위치 벡터가 있습니다 p1과 p2, 그리고 p3 이 점들을 여기에 찍었습니다 그리고 여러분은 이것이 삼각형의 꼭짓점이라고 생각해도 좋습니다 이렇게 보이는 것 말입니다 (이것이 한 변이고, 이것이 다른 변, 그리고 이것이 또 다른 변이지요) 그리고 제가 궁금한 것은 제가 이 점들을 옮기면 어떻게 될까 하는 것입니다 그리고 저번 비디오처럼 그리고 이 변환 행렬을 각각의 점들이 어떻게 이동되는지 보기 위해 적용하거나 아니면 이 변환 행렬을 가지고 위치 벡터로 이루어진 행렬을 곱할 수도 있습니다 한번 해봅시다 이 변환 행렬을 가지고 옮겨봅시다 복사하고 붙입니다 저는 이 변환 행렬을 가지고 이 행렬의 각 세로열이 이 위치 벡터들 중 하나가 되는 곳에 있는 세개의 위치 벡터가 모두 있는 수열로 곱할 것입니다 첫번째 것은 2,1 입니다 그 다음은 -2,0 입니다 다음은 0, 2 입니다 한가지 방법은 이 변환 행렬을 가지고 곱하는 겁니다 행렬이 첫번째 세로열로 구성된 것은 위치 벡터 1, 두번째 세로열로 구성된 것은 위치 벡터 2, 세번째 세로열로 구성된 것은 위치 벡터 3 이제 무엇을 해야 할까요 이것은 2x2 행렬입니다 우리는 이것을 2x3 행렬로 곱해서 행렬 곱셈 계산이 명확하게 드러나는데 이 세로열들의 숫자가 여기 있는 가로열의 숫자와 같습니다 그리고 이것의 결과 는 2x3 행렬이 될것입니다 2개의 가로열과 3개의 세로열은 세개의 새로운 위치 벡터를 나타냅니다 이제 어떻게 될까요 차근차근 해봅시다 이 첫번째 항에서 척번째 가로열, 첫번째 세로열은 이 가로열 곱하기 세로열입니다 2x2는 4이고 더하기 1 더하기 1이므로 4 더하기 1입니다 이것은 5가 될것입니다 다른 색으로 해봅시다 -1 곱하기 2는 2입니다 더하기 2 곱하기 1 더하기 2, 그것은 -2 더하기 2이고, 결국 0입니다 그래서 우린 벌써 2,1 이 5,0으로 이동된 것을 보았습니다 1,2,3,4,5, 우리가 이것을 p1이라고 하고 이것을 p1이 이동한 p1' 이라고 하면 p2로 가봅시다 2 곱하기 -2는 -4이고, 더하기 1 곱하기 0이어서 -4 더하기 0을 하면 그냥 -4가 됩니다 그 다음-1 곱하기 2는 양수 2이고, 더하기 2 곱하기 0은 0이 됩니다 그래서 이것은 양수 2 더하기0이어서 2가 됩니다 -4,2. 음수 1,2,3,,,,4,2 여기입니다 이 점이 p2 p2는 여기 바로 있었죠 이것이 p2'입니다 이것은 p2' 위치 벡터입니다 혹은 p2' 위치 벡터가 명시할 위치입니다 그러면 마지막으로 p3를 살펴봅시다 2곱하기 0을 하면 0이고, 더하기 1 곱하기 2 따라서 0 더하기 2 혹은 2이고, 그 다음은 -1 곱하기 0이어서 0이 됩니다 더하기 2 곱하기 2는 4입니다 그러면 우리는 2,4 라는 점을 얻습니다 그래서 2, 1,2,3,4,,,,, 여기에 있습니다 여기가 p3입니다 이것은 p3' 입니다 흥미로운 일이 생겼습니다 새로운 삼각형이라고 생각할 수 있는 꼭짓점이 생겼습니다 이렇게 보이는 새로운 삼각형 말입니다 그것은 이렇게 생겼습니다 그래서 여러분이 생각할 수 있는 것은 제가 그려보겠습니다 이 새로운 것을 파란색으로 그려보겠습니다 더 잘 볼 수 있게 말입니다 우리는 이 작은 삼각형에서 시작해서 더 큰 것, 이것은 작은 삼각형입니다 이것은 이 작은 삼각형이 큰 삼각형으로 옮겨진 것, 다른 방식으로 생각하면 이 삼각형 전체가 변환되어서 그리고 지금은 꼭짓점만을 이동시켰지만 이것은 사실 이 강의에서는 증명하진 않겠지만 만약 여러분이 이 삼각형의 점들 중 아무거나 선택하더라도 이 큰 삼각형에 대응하는 점으로 이동했을것입니다 그리고 여기서 훌륭한 것은 여러분이 변환 행렬의 제곱을 알기 시작한다는 것입니다 그리고 여러분은 또한 컴퓨터 게임이나 애니메이션과 같은 것들에 대해 생각하면서 왜 이것이 유용한지 알아차리기 시작하고 있습니다 왜냐하면 변환 행렬이 우리가 할 수 있도록 만들어주는 것들이 컴퓨터 프로그램들이 우리가 무언가를 할 수 있도록 만들어 주기 때문입니다- 다른 관점에서 바라보고 변환 행렬을 허용하면 그들이 실제로 무엇을 하는 것인지 또 그것들을 좌표와 곱해서 그 위치나 관점에 따른 새로운 좌표들을 얻을 수 있습니다 또는 카메라의 위치나 관점, 혹은 컴퓨터 그래픽 세상에서의 가상의 카메라에 기반을 둘 수도 있지요 제가 훌륭하다고 생각하는 이 두가지 것에서 우리는 이제 한 점만 이동시킨 것이 아니라 세 점을 옮겼는데 이 점들은 삼각형의 꼭짓점이 될 수 있고, 여러분은 이런 종류의 확대와 이런 종류의 변환 행렬을 사용했을 때의 회전을 볼 수 있습니다 만약 우리가 다른 변환 행렬을 사용한다면 다른 변환이 이루어졌을 것이고 그리고 우리는 그것뿐만 아니라 여러 가지의 위치 벡터를 동시에 가지고 할 수 있다는 것을 보았습니다 이것을 따로따로 해서 같은 결과를 얻었을 수도 있겠지만 다행스럽게도 이것은 여러분에게 행렬의 제곱을 보여줄 뿐 아니라 이것이 왜 컴퓨터 그래픽이나 애니메이션 등의 것에 유용한 것인지도 보여줍니다