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행렬로 인한 변환을 시각적으로 나타내기

동영상 대본

변환 행렬 T가 만약 행렬 3 0 0 3 과 같다면 다음의 보기 중 이 변환 행렬이 빨간 직사각형에 적용 되었을 경우의 변화 모형을 고르시오 이거 정말 흥미로운 문제군요! 가능한 변환에 대해서 생각할 때 직사각형 내의 가장 유용한 좌표들의 값은 우리에게 주어지지 않았네요 그러니까 특정 숫자에 어떻게 변환 행렬이 대응되는지 보기 위해서 임의로 좌표를 설정해 봅시다 그러면 이 문제를 푸는데 충분한 단서를 얻을 수 있을 거예요 일단 여러분이 먼저 이것을 해보는 것을 권장합니다 비디오는 잠깐 멈춰보세요 이 빨간 직사각형에 대응되는 좌표를 정해보세요 그리고, 이 보기들 중에 당신의 변환과 가장 유사한 형태로 나타나는 것이 무엇인지 보세요 당신이 시도해봤다고 생각하고 시작하겠습니다 논란 없이 확실히 하기 위해서 바로 여기 이 점을 이 점을 위치 벡터라고 하지요 이것을 세로 벡터로 표현해 보겠습니다 이것을 정사각형이라고 하지요 그럼 이건 (1, 1)의 좌표입니다 그냥 세로 좌표로 표시하겠습니다 이 점은 (1, -1)이라고 하죠 (1, -1) 그러면 여기의 이 점은 위치 벡터에 의해서 (-1,-1)입니다 (-1, -1) (-1, -1) 마지막으로, 바로 여기의 이 점은 (-1, 1)이라는 위치 벡터로 표현될 수 있겠네요 (-1, 1) 그럼 이제 이 네 점이 변환 벡터에 의해 어떻게 바뀔지를 보죠. 제가 이 문제를 풀 방법은 일단 변환 벡터를 보죠 자, 3 0 0 3 이제 저는 이것을 2*4 행렬로 곱해 보겠습니다 이 행렬은 모든 위치 벡터들을 표현하죠 이것을 무엇으로 곱하냐면, 이 점 (1, 1) 이것이 우리의 첫번째 점이죠 그리고 (1, -1)이 있습니다 (1, -1) 그리고 이 점 (-1, 1) (-1, 1) 그리고 이 점 (-1,-1)이 있습니다 (-1, -1) 이 점들은 문제가 우리에게 좌표들을 주지 않았기 때문에 수학을 좀 더 확실하고 간편하게 할 수 있도록 편리하게 설정한 점들이었습니다 그럼 이것이 어떤 값이 나올까요? 여기 2*2 행렬이 있습니다 곱하기 2*4 행렬의 곱셈은 여기서 정의되죠 우리가 세로 항의 같은 숫자들이 있으니까요 그래서 여기 열들이 있죠 이것은 결과적으로 2*4 행렬을 만들 것입니다 이것은 우리에게 다른 2*4 행렬을 주겠죠 이것은 우리가 변환 벡터를 위해 4개의 세로 벡터들을 필요로 하기 때문에 맞습니다 결과가 무엇인지를 알아보지요 첫번째 세로 벡터, 여기 있는 것이죠 이 열과 항에 대해 생각해 보겠습니다 아니면 사실, 첫번째 바로 이 위치의 첫 열, 첫 시작이라고도 할 수 있죠 두 번째의 것은 두 번째 열과 첫번째 세로가 됩니다 그래서 봅시다, 31+01 음, 이것은 3+0 이므로 3이 되겠네요 그리고 여기에서, 01+31 도 3의 값을 갖겠네요 여기서 이미 규칙이 보이네요 각각의 벡터들에 대해서 x좌표를 알기 위해서는 우리는 이 열을 이용하고 있습니다 그리고 이 열에서 우리는 방금 3에 여기의 x좌표를 곱했죠 y좌표의 값은 생각하지 않습니다 그리고 y좌표에는 0을 곱하기 때문에 우리는 이 규칙을 계속해서 보게 될 것입니다 그래서 여기는 3*1이 있지요 3 1 +0-1 이것은 그냥 3*1을 의미하므로 3가 되죠 그리고 여기에서 당신은 y좌표를 계산합니다 각 계산에서 우리는 변환 전의 모양에 대한 y좌표만 생각하죠 0*1은 0입니다 그러니까 x좌표에 대해서는 생각하지 않는 것이죠 그리고 이건 그냥 3*-1입니다 -3이 나오죠 그냥 각 좌표에 값을 대응시키고 있는 것 뿐입니다 각각에 3을 곱해서 말이죠 3*-1은 -3입니다 + 0*1 이므로 -3이 나오죠 그리고, 그것은 0*-1은 0이고 +3*1은 3이죠 그리고 마지막으로, 3*-1 3*-1+ 0*-1은 -3네요 그리고 0*-1+ 3*-1은 다시 -3이 되네요 그래서 무슨 일이 일어날까요? 음, 이 각각의 좌표들은 사실 3이라는 숫자에 의해 도출됩니다 그리고 이것이 우리가 생각하는 것과 가장 유사한 모양인 것 같네요 제가 이 것을 어떻게 알아냈죠? 음, 이걸 보세요 이것이 바로 저기의 (1,1) 점입니다 (1, 1) 이것은 여기의 (3, 3)라는 점으로 바뀝니다 그래서, 1, 2, 3 이 것이 바로 저기의 (3, 3)에 대응 되죠 이것이 저것으로 변환되었고 각각의 점의 변환을 이 그림에서 볼 수 있습니다 (1, -1) (1,- 1)은 (3, -3)로 변화되죠 그리고, (-1, 1)이 있습니다 5:36.95 (-1, 1) (-1, 1)은 (-3, 3)로 바뀌었어요 그리고, 물론, (-1, -1) (-1, -1)은 (-3, -3)로 바뀝니다 바로 이 두 번째 그림이 도출되는 것이죠 두 번째 그림이 빨간 직사각형에 변환 행렬 T가 대입되었을 경우의 그림을 나타냅니다