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행렬의 가역성 확인하기

동영상 대본

...................... 어쩌면 행렬의 역을 찾는것 보다 더 흥미로운 것은 그것이 언제 존재하지 않는지를 찾는 것입니다 혹은 그것이 정의되지 않았을 때를 찾는 것이죠. 그리고 역이 없는 정사각행렬, 혹은 역이 정의되지 않은 행렬을 특이행렬이라고 합니다 이제 특이행렬이 어떻게 생겼는지, 그리고 우리가 행렬을 통해 다뤘던 문제들에 특이 행렬이 어떻게 적용되는지 생각해봅시다 자 이제 저에게 2*2 행렬이 있다고 해봅시다 그것은 어떤 정사각행렬로도 유도될 수 있습니다. 어쨌든 2*2 행렬이 있고 그 원소는 a, b, c, d입니다 이 행렬의 역은 무엇일까요? 이것이 이제는 여러분에게 매우 자연스러울 것입니다. A의 역행렬은 1/a의 계수 곱하기 a의 수반행렬입니다 그리고 이 경우에서는, 이 두 항을 바꿀 수 있습니다 따라서 a d와 a가 있습니다 그리고 이 항들을 음수로 바꿉니다 그래서 -c와 -b가 있습니다 그래서 제 질문은, 어떤 경우에 이 전체의 표현이 정의되지 않을까요? 사실 제가 어떤 숫자를 가지고 하는 지는 중요하지 않습니다 제가 정의되는 숫자를 예로 들더라도, 그 숫자들의 자리를 바꾸거나 음수로 만들면 이 부분의 식을 바꾸지 못합니다 그러나 문제를 일으키는 것은 우리가 0으로 나누려고 할 때 입니다 만약 행렬 A의 행렬식이 정의되지 않았다면 만약 --수학에서는 f 2개로 쓰기도 하는데-- A의 행렬식의 역이 정의되지 않는다면 A의 행렬식은 0과 같습니다. 그것을 다르게 보자면, 어떤 행렬의 행렬식이 0이라면, 그 행렬은 특이 행렬이며, 역이 없다, 혹은 역이 정의되지 않았습니다 그것을 개념적으로 생각해봅시다 우리가 봤던 문제 2개에서 계수 0이 어떤 의미인지 보고, 왜 역이 없는 지에 대한 힌트를 얻을 수 있는 지 봅시다 행렬식 0은 무엇일까요? 이 2*2 행렬의 경우, 행렬식이 무엇일까요? A의 행렬식은 무엇인가요? 그것은 ad-bc와 같습니다 .................................................. 그래서 만약 이 식이 0이라면 이 행렬은 특이ㅇ 행렬, 혹은 역이 없습니다 여기다 그것을 쓰겠습니다 만약 ad와 bc가 같다면 --혹은 식을 바꾼다면 a/b가 c/d와 같다고도 할 수 있겠죠 이것은 양변을 b로 나누고 d를 곱해서 말입니다-- 그래서 a:b의 비가 c:d와 같으면, 역이 없을 것입니다 아니면 이것을 다르게 쓰려면 a/c는 --양변을 c로 나누고 d로 나눠서-- b/d와 같습니다 이것이 특이행렬이 되는 다른 방법은 --사실 같은 방법입니다 만약 이게 사실이라면, 이것도 사실이죠 이 둘은 같습니다 약간의 대수적 변형일 뿐이죠 그러나 만약 a:c의 비가 b:d의 비와 같다면, 여러분은 왜 이것이 같은지 생각해볼 수 있습니다 a:b의 비는 c:d의 비와 같다는 것을 말이죠 어쨌거나, 여러분을 혼란스럽게 하고 싶지는 않습니다 하지만 어떻게 그 사실이 우리가 봐왔던 문제로 연결되는 지 생각해봅시다 우리가 문제를 --일차방정식을 표현하는 행렬--의 문제를 풀고싶었다고 가정해 봅시다. 사실, 이 둘중 하나 중 아무거나 되겠죠 그러니까 a,b,c,d 곱하기 x,y는 (우리가 아직 사용하지 않은 숫자인) e, f와 같습니다 그러니까 일차방정식을 나타내는 행렬의 식이 있다면, 일차방정식은 ax+by=e로 표현될 것 입니다 그리고 cx+dy=f입니다 또 우리는 어디서 이 둘이 겹치는 지 보겠습니다 그것이 방정식의 답, 벡터, 이 방정식의 해이겠죠 이 두 선이 어떻게 생겼는지 시각적으로 보기 위해서, 이 두 식을 y에 대한 식으로 정리하여 이해하겠습니다. 그러면 이것은 무엇이 될까요? 이 경우에 y는 무엇과 같을까요? y는 -a/b, x+e/b입니다 제가 그냥 몇 단계를 건너뛰었어요 하지만 양변에서 ax를 빼고 양변을 b로 나오면 이 값이 나옵니다 그러면 이 등식은, 같은 형식으로 나타내면 y로 정리할 수 있습니다 여러분은 y는 -c/d+f/y라는 식을 얻게 됩니다 이것에 대해 생각해보겠습니다 일단 색깔을 바궈야 할 것 같습니다. 이 두 등식이 어떻게 보일지 만약 이것이 옳다면 말입니다 ......................................... 그리고 만약 이 식이 옳다면 행렬식이 없습니다 이 것은 특이행렬이 되고, 역이 없겠죠 역이 없기 때문에, 이 식의 해를 양변을 역으로 곱해서 구할 수도 없죠 역이 없으니까요 이것에 대해 생각해봅시다 만약 이게 사실이라면, 행렬식이 없다는 것이, 그러면 직관적으로 이 식에서 의미하는 것은 무엇일까요? 만약 a/b가 c/d와 같다면, 이 두식은 기울기가 같겠죠 기울기가 같습니다 그래서 이 두 식이 다르다면 우리가 그에 대해 알 수 있는 것은 무엇일까요? 만약 같은 기울기를 가진 두 식이 x축과 겹치는 y값이 다르다면 이 둘은 평행이고 절대 교차하지 않습니다. 그것을 그려보겠습니다, 일단 위 쪽 줄을. 꼭 양수일 필요는 없지만, 음수로 나와있으니 음수 그래프로 그리겠습니다 이게 첫번째 그래프이고 그 y값은 e/b입니다 ......................... 여기 이 선이죠 그다음 두번째 선 --다른 색깔로 하겠습니다 저 선보다 위일지 아래일지는 모르겠지만 그 선과 평행이겠죠 이런 식으로 생겼을 것입니다 ............................. 그리고 y값은 f/y가 될 것입니다 그래서 e/b와 f/y가 다른 식이지만 두 선의 식이 같으므로 평행이고 절대 만나지 않을 것입니다 그러니까 해도 없겠죠 만약 누군가가 --이런 전통적인 방식으로던 혹은 두 식을 더하고 빼던-- 이 두 선이 만나는 해를 찾지 못할 것이라고 말한다면, 만약 a/b가 c/d와 같다면 말이죠 그러니까 특이 행렬인 것을 보는 방법 중 하나는 평행인 두 선입니다 자 그러면 여러분은, 이봐 근데 만약에 e/b와 f/y가 같으면 이 두선이 만나잖아라고 하겠죠 만약 이 둘이 같다면, 사실 같은 선이 되겠습니다 그러면 이 둘이 만날 뿐만 아니라, 셀 수 없이 많은 교차점이 있겠죠. 그러나 그래도 하나의 해는 없습니다 아예 식에 대한 해가 없죠 모든 x와 y값에서 같으니까요 그러니까 행렬 문제를 대할 때 이러한 방식을 사용할 수 있습니다 만약 두 선이 평행이거나 같은 선이라면 그 행렬은 특이 행렬입니다 둘은 평행이고 전혀 만나지 않습니다 혹은 같은 선이어서 무한한 수의 점에서 만나고 있습니다 그러니까 A의 역이 정의되지 않는 것이 이해가 가죠 그래서 벡터의 선형 결합 면에서 생각해보겠습니다 소거를 위해 제가 원하던 방법이 아니에요 ............................... 그러니까 이 문제를 선형결합 측면에서 생각하면, 이렇게 생각할 수 있습니다 이것이 벡터ac 곱하기 x 더하기 벡터 bd 곱하기 y가 벡터 ef와 같다고 말이죠 이것에 대해 좀 더 생각해봅시다 우리는 벡터 ac와 벡터 bd가 벡터 ef와 같은 어떤 조합이 있다고 말하는 것입니다 그러나 우리는 방금 만약 여기에 역이 없다면 행렬식이 0이라고 했습니다 그리고 행렬식이 0이라면, 이 경우에 우리는 a/c와 b/d가 같다는 것을 압니다 그러니까 a/c는 b/d와 같죠 그게 우리에게 어떤 정보를 줄까요? 그려보겠습니다 아 숫자가 생각보다 도움이 될 수도 있겠네요 그러나 여러분이 감으로 알 수 있을것이라고 생각합니다 먼저 1사분면을 그리겠습니다 두 점이 모두 1사분면에 있다고 가정하겠습니다 그리겠습니다 ........................ 이게 벡터 ac죠. 이게 a라고 합시다 다른 색깔로 그려보죠 그러니까 벡터 ac를 그립니다 이게 a라면 이것은 c이고 벡터 ac는 이렇게 생겼습니다 그립니다 깔끔하게 그리고 싶어요 벡터 ac는 이렇게 생겼습니다 그리고 화살표가 있습니다 그러면 벡터 bd는 어떻게 생겼을까요? ....................... 자 벡터 bd는 임의로 다른 곳에 그려보겠습니다 하지만 우리는 도함수, 아니 행렬식이 없다고 가정했죠 (이제껏 제가 도함수라고 잘못 말하진 않았죠?) (아니길 바라요) 자 우리는 이 행렬에 행렬식이 없다고 가정했죠 그래서 행렬식이 없으면 a/c는 b/d와 같죠 혹은 다른 방법으로는 c/d가 d/b와 같다고 생각할 수도 있죠 그러나 이것이 알려주는 정보는 두 벡터가 같은 기울기라는 것입니다 그래서 원점에서 시작해서 같은 방향으로 가겠죠 크기는 다를 지 몰라도 같은 방향으로 가고 있습니다 그래서 이게 b점이고 d점이면 벡터 bd는 여기입니다 그리고 이게 당연하지 않다면, 왜 이 두 벡터가 만약 이게 사실이라면, 같은 방향을 향하는지 생각해봅시다 그러니까 이 벡터는 겹치겠어요 이 벡터와 같은 방향을 향하지만 크기가 다를 것입니다 같은 크기일 수도 있겠네요 그러니까 제 질문은, 벡터 ef, 그것이 어디 있느냐 입니다 자 임의의 점을 찍어봅시다 이것이 e고 f라고 정합시다 이게 벡터 ef입니다 다른 색깔로 해보죠 벡터 ef, 여기입니다 ........................... 그러니까 제 질문은 만약 이 두 벡터가 같은 방향을 향한다면 말입니다. 어쩌면 다른 크기로 말이죠 이 벡터를 얻기 위해 다른 두 벡터를 더하거나 빼서 구할 수 있나요? 아니오, 이 벡터의 크기를 재고 더할 수 있습니다 하지만 여러분은 이 선을 따라 이동할 뿐입니다 아무 다른 벡터로 향할 수 있죠 이 벡터들 중 하나에 여러 가지가 있죠 그러나 이 둘이 같은 방향에 있기때문에 다른 방향에 있는 다른 벡터로는 갈 수 없습니다 그러니까 이 벡터가 다른 방향에 있다면 해가 없습니다 만약 이 벡터가 어쩌다가 같은 방향에 있다면 해가 있을 것이고, 그것은 그저 계산하면 됩니다. 사실, x와 y측면에서 아주 많은 숫의 해가 있을 수 있죠 그러나 만약 벡터가 방향면에서 아주 약간 다르다면 해가 없습니다 이 벡터 두개를 가지고 이 벡터를 구할 수 있는 방법은 없습니다 그리고 그것은 여러분이 생각해봐야 될 부분입니다 어쩌면 당연할 수도 있습니다 그러나 벡터의 합을 생각할 때, 다른 방법은 어떤 방향으로 움직이려는 벡터는 이쪽과 반대쪽을 약간씩 가지고 있어야 다른 벡터로 향할 수 있습니다 ....................... 그리고 처음의 백터들이 같은 방향이라면 다른 곳으로 갈 수 없습니다 어쨌거나 제가 지금 설명하는 것은 결국 다 반복적인 말이겠죠. 그러나 이것을 통해 여러분이 특이행렬에 대한 감을 길렀기를 바랍니다 여러분은 언제 역을 찾을 수 없는 지 압니다 행렬식이 0일때 역이 없다는 것을 말이죠 .......................... 그리고 어쩌면 --그것이 이 비디오의 목표였는데-- 그의 이유에 대한 감도 생겼기를 바랍니다 왜냐하면 벡터 문제를 푼다면, 벡터의 해가 없거나 다른 벡터로 향하는 방법이 없거나 어쨌든 벡터를 찾을 수 없고 무한한 숫자가 있기 때문입니다 그리고 두 선의 교점을 찾을 때도 마찬가지 입니다 만약 행렬식이 0이라면 그 둘은 평행이거나 같은 선입니다 어쨌든, 다음 비디오에서 만납시다 ..................