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복소수 심화 문제: 복소수와 행렬식

동영상 대본

오메가가 복소수가 되게 합니다. 3분의 2파이의 코사인과 3분의 2파이의 사인에 i를 곱한 것을 더합니다. 그런 다음 서로 다른 복소수인, 이 0에 수렴하는 계수를 만족하는 z 중 이 3x3 행렬이 0이 되도록 하는 z를 구해봅시다. 그러니 여기 0이 되는 3x3 행렬이 있는 것과 같습니다. 그러니까 이 계수들을 구해서 z가 구해지는 지 아니면 기본적인 등식을 만족하는 복소수 z가 몇 개나 있는지를 구해봅시다. 그러면 이 행렬의 계수를 구하겠습니다. 만약 이 항부터 시작한다면 이 항과 아래의 2x2 행렬의 계수의 곱일 것입니다. 그러면 z+1이 되고, 이 z+1을 z+오메가 제곱 곱하기 z+오메가에서 1을 빼면, 이 답이 바로 여기 아래의 2x2 행렬의 계수입니다. 이것은 z+1이고 우리는 표시를 바꿔야 하는데, 바로 이 자리입니다. 여기서우리는 -표시를 앞에 붙입니다. 여기 장기판같은 무늬가 있는데 계수를 구해낼 때 쓰면 됩니다, 그러니까 마이너스 오메가와, 저 열을 없애면 됩니다, 저 기둥이요, 그러니까 아래의 계수는 오메가 곱하기 z+오메가입니다, 지금 바로 곱해보겠습니다. 따라서 z 곱하기 오메가 더하기 오메가 제곱 빼기 오메가 제곱 곱하기 1은, 빼기 오메가 제곱이 있으니 더 깔끔해지겠네요. 벌써 약간 단순해진게 생겼네요. 그리고 이제 이 오메가 제곱을 해결할 차례네요, 이번에는 +오메가 제곱 곱하기 오메가 곱하기 1을 해서 오메가가 나오고, 빼기 오메가 제곱 곱하기 z 더하기 오메가니까 빼기 오메가제곱 곱하기 z가 나옵니다. 여기에서 오메가 네제곱을 뺍니다. 그리고 기억해야할 것은 이 모든 표현들이 0과 같아져야 한다는 것입니다. 이 전체가 0과 같아야 한다는 말입니다. 이제 우리가 이 식을 좀 단순하게 만들 수 있는 지 보겠습니다. 일단 여기 이 두 가지를 곱하면 z 곱하기 z로 z 제곱이 나오고, z 곱하기 오메가는 z 오메가이고 오메가 제곱 곱하기 z는 오메가 제곱 z입니다. 그리고 오메가 제곱과 오메가를 곱하면 오메가 세제곱이니까 더하기 오메가 세제곱을 하고, 여기는 마이너스 1이 있으니, 이제 이 전체에 z+1을 곱해야겠습니다. 일단 이 파란 부분에 집중한 김에 이 것을 계속 정리해 봅시다. 우선 z를 이 모든 부분에 곱해야겠지요. 그러면 z 세제곱 더하기 z제곱 오메가 더하기 오메가 제곱 z제곱 더하기 오메가 세제곱 z 빼기 z입니다. 지금 전체에 z를 곱하는 과정을 마쳤습니다. 그러니까 이 전체를 한번더 더하면 됩니다. z제곱 더하기 z오메가 더하기 오메가 제곱 z 더하기 오메가 세제곱 빼기 1이고 여기서 한 번더 정리해보겠습니다. 초록색에서는 이 부분이 정리되어서 없어졌으니까 이 부분만 남았네요. 마이너스 오메가 곱하기 z 오메가니까 마이너스 z 오메가 제곱이고 이제 이 마젠타 색깔 부분을 해봅시다. 우선 더하기 오메가 세제곱 빼기 오메가 세제곱 z, 맞죠, 아 조심해야겠네요, 이 부분은 오메가 네제곱이 되겠네요, 오메가 제곱 곱하기 오메가 제곱은 오메가 네제곱이지요. 그런 다음 오메가 제곱 곱하기 오메가 네제곱은 오메가 여섯제곱이고 이번에는 마이너스가 있으니, 마이너스 오메가 여섯제곱이고 당연히 이 모든 것은 0이 되어야 합니다. 이제 더 정리할 부분이 있는 지 보겠습니다. 항들을 묶어서, 서로 다른 제곱들끼리 묶어보겠습니다. 우리에게는 여기 z 세제곱이 있고 이게 우리가 가진 유일한 z 세제곱이네요. 그러면 z 제곱을 가진 항들을 묶어보면 이게 z 제곱인 항이죠, 이것도 마찬가지고요. 저기도 z제곱을 포함하고, 이젠 z제곱을 포함하는 항은 없네요. 그러면 계수들은 이건 오메가 제곱과 같고 저건 여기 이것과 똑같네요, 더하기 오메가, 더하기 오메가 더하기 1 더하기 1 곱하기 z 제곱 그러니까 여기 핑크색으로 밑줄 그은 부분은 다 정리된 겁니다. 이제 z를 가진 항을 정리해봅시다. 이 z는, 이 색으로 할게요, 곱하기 z를 하면 되는거죠. 이게 z항이고 이것도, 이것도 z항이고요, 다음에 다른 z 항이 있나요? 바로 여기 이것도 z항이네요. 그리고 사실 이 둘은 지워집니다. 마이너스 z오메가제곱 더하기 z 오메가 제곱이니까, 이것과 이것은 지워집니다. 우리가 가진 z항은 세 개가 전부네요. 그러면 오메가 세제곱이 있고, 더하기 오메가 세제곱이 있고 이 색깔들은 너무 똑같네요. 더하기 오메가 세제곱, 다음 z항은 마이너스 1이고 하지만 여기 오메가가 있네요. 그러니까 더하기 오메가 빼기 1 제가 헷갈리고 있었네요. 왜냐하면 이 흰색이 핑크색이랑 너무 똑같았어요. 그러니까 오메가 세제곱 마이너스 1 더하기 오메가 곱하기 z 아! 이걸 놓치면 안됩니다. 여기 이 항이 있어요 오메가 네제곱 곱하기 z, 그러니까 우리는 마이너스 1 오메가 세제곱 z 다음에 다음에 마이너스 1 z가 있고 더하기 오메가 z가 있고 마이너스 오메가 네제곱 z가 있네요. 그러니까 이건 그냥 여기 둘게요, 지금 올바른 순서로 내려오고 있지 않지만 다시 이걸 다 쓰고 싶진 않네요. 그러니까 우리는 z항은 다 정리했고, 그러면 우리에게 남은 것은 z가 없는 상수항입니다. 더하기 오메가 세제곱, 사실 오메가 세제곱은 두 개 있네요. 여기 하나, 저기 하나 있지요. 이건 처리했고요. 그러고 나서 마이너스 오메가 여섯제곱, 마이너스 1이 있습니다. 그리고 이 모든 건 0이 되어야 합니다. 이제, 헷갈려 보이겠지만 특히 오메가가 이렇게 얽혀있을 때는 이건 꽤 복잡한 표현입니다. 하지만 혹시 이 것도 오일러의 공식으로 지수를 통해 나타낼 수 있겠다는 생각이 문득 들었을 수도 있습니다. 우리는 e의 i세타 제곱이 세타 코사인과 i 곱하기 세타 사인을 더한 것과 같다는 것을 압니다. 그러니까 오메가는 3i분의 e의 2파이와 완전히 똑같은 것입니다. 그게 오메가의 정의입니다. 그러면 3i 분의 e의 2파이 제곱은 무엇일까요? 이 답은 여기서 구할 수 있습니다. 이것은 3분의 코사인 2파이입니다. 여기서 단 단위의 정수를 지워낼 수 있습니다. 3분의 2파이는 120도와 동일합니다. 그러면 값을 구하기 위해서 단 단위 정수를 지워보겠습니다. 이걸 하는 이유는 사실 여기서 결론을 내서 숫자를 구해도 되지만 여기 이쪽의 거듭제곱을 취하는 것보다 3i분의 e의 2파이 제곱을 취하는 것이 훨씬 간단하기 때문입니다. 하지만 만약 단 단위 정수를 지운다면 단 단위 정수의 원에서 120도에 위치할 때 이것은 3분의 2파이입니다. 그러면 여기서 문제가 생깁니다. 이 쪽의 이각은 60도가 될 것입니다. 그리고 이 높이는 2분의 루트3이 될 것입니다. x좌표는 마이너스 2분의 1이 되겠네요. 그러니까 이것은 마이너스 2분의 1과 같습니다. 3분의 코사인 2파이는 마이너스 2분의 1입니다. 3분의 사인 2파이는 2분의 루트3과 같습니다. 하지만 여기에 i를 곱해야 겠지요. 그러니까 더하기 2i 분의 루트3이 됩니다. 이게 오메가입니다. 이제 오메가 제곱을 생각해봅시다. 오메가 제곱은 이것을 제곱한 것이 되겠지요 3분의 e의 4파이 제곱이 됩니다. 이것에 2를 곱하면 다입니다. 240도와 동일하겠습니다. 바로 여기 이것과 동일한 것이지요. 제가 적어보겠습니다. 3분의 코사인 4파이 더하기 3분의 i 곱하기 4파이와 같습니다. x좌표는 전과 똑같습니다. 그러니까 마이너스 2분의 1이 되겠지요. 마이너스 2분의 1과 같습니다. y좌표는 마이너스 2i 분의 루트 3입니다. 이제 오메가 세제곱을 생각해봅시다. 오메가 세제곱은 e의 2파이 곱하기 i 제곱과 같은데 이는 코사인 2파이 더하기 i곱하기 사인 2파이와 같습니다. 사인 2파이는 0과 같고 코사인 2파이는 1과 같습니다. 이 표현들에도 등장하기 때문에 이제 오메가 네제곱을 구해보겠습니다. 오메가 네제곱은 오메가를 네 번 곱하면 되니까 3i분의 e의 8파이제곱입니다. 3분의 8파이는 - 이게 3분의 2파이였죠. 이건 3분의 4파이 입니다. 이건 결과적으로 3분의 6파이입니다. 그리고 3분의 8파이는 3분의 2파이와 같은 각이기 때문에 그 값은 같게 됩니다. 마이너스 2분의1 더하기 2i분의 루트 3입니다. 그리고 식에 오메가 다섯 제곱은 없고 오메가 여섯제곱은 여기 있네요. 이제 그걸 찾아보겠습니다. 오메가 여섯제곱은 오메가 세제곱을 제곱한 것과 같습니다. 그리고 오메가 세제곱은 1입니다. 그러니까 오메가 여섯제곱은 그냥 1을 제곱한 것, 즉, 1이 됩니다. 이제 미지수를 해결한 상태에서 이것들이 어떻게 단순화되는지 봅시다. 무언가로는 단순화되기를 바랍니다. 그러니까 여기 이 표현은 오메가 제곱-여기 위에 쓰겠습니다. 마이너스 2분의 1 마이너스 2i 분의 루트3 이게 오메가 제곱입니다. 이제 오메가를 더합니다. 오메가는 여기 있네요. 마이너스 2분의 1 더하기 2i 분의 루트3 입니다. 그리고 더하기 1이 있네요. 그러니까 마이너스 2i 분의 루트3과 플러스 2i 분의 루트3은 사라집니다. 마이너스 2분의 1 빼기 2분의 1은 마이너스 1이니까 더하기 1과 함께 사라집니다. 그러니까 이 표현 전체는 0이 됩니다. 이 부분은 지워집니다. 어떻게 해도 이 부분은 0이니까요. 이제 여기에 주목해보겠습니다. 이건 오메가 세제곱입니다. 우리가 아는 오메가 세제곱은 1 더하기 오메가인데 이는 - 마이너스 2분의 1이라고 적어야겠네요. 더하기 2i 분의 루트3, 마이너스 1 마이너스 오메가 네제곱입니다. 오메가 네제곱은 오메가와 같습니다. 오메가 네제곱이 오메가와 같으니 오메가 빼기 무언가가 남았네요. 그건 그 자신과 같습니다. 저것들은 사라질 겁니다. 오메가 세제곱은 1입니다. 그러니까 1과 1이 사라지는 겁니다. 그래서 이 전체도 0과 같아집니다. 저는 이제 규칙을 알 것 같습니다. 그리고 결론적으로 여기 이 문자들을 보겠습니다. 2 곱하기 오메가 세제곱 -여긴 그냥 2가 됩니다- 마이너스 오메가 여섯제곱입니다. 이건 마이너스 1이 됩니다. 그리고 여기 마이너스 1이 있습니다. 그러니까 2 마이너스 1 마이너스 1은 또한, 0과 같습니다. 그러니까 저 전체 등식의 전체 계수는 z의 세제곱은 0으로 단순화되었습니다. 그리고 세제곱을 했을 때 0이 되는 유일한 숫자는, 그 어떤 경우에도 0이 됩니다. 따라서 z는 0이 유일한 답입니다. 하지만 그걸 묻는 문제가 아닙니다. 문제는 z가 충족하는 특정 복소수의 개수를 묻습니다. 그러니까 z는 0이 이 조건을 충족하는 유일한 답입니다. 따라서 이 조건을 충족하는 복소수의 개수는 1입니다.