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예제: 유한등비급수

동영상 대본

이제 이 수열의 첫 50항의 합을 구해야 합니다 여러분이 바로 눈치채셨을 수도 있겠지만 이 수열은 등비수열입니다 첫 항에서 다음 항으로 넘어갈때 반복적으로 10/11을 곱하고 있습니다 1에서 10/11로 갈 때 10/11을 곱하고 그 다음 항으로 갈 때도 10/11곱하는 식으로 반복적으로 10/11을 곱합니다 이제 첫 50항의 합을 구하기 위해선 등비수열의 합을 구하기 위해 유도한 공식을 사용하면 됩니다 이 공식으로 이 상황의 경우 첫 50항에 대해 이 밑에 적으면 첫 50항의 합은 첫항이 1이므로 1을 곱하고 다른 색깔로 적으면 (1-공비^항수)를 곱해야 하는데 공비가 10/11이고 항수가 50이므로 1×(1-(10/11)^50)인데 여기서 (1-공비)를 나누면 값을 계산하진 않을 거지만 식을 정리하면 1 빼기 10^50으로 헷갈리지 않게 괄호를 칩시다 따라서 1-(10/11)^50 나누기 11/11-10/11=1/11이므로 분자에 11을 곱하는 것과 같아서 정리하면 11×(1-(10/11)^50)인데 더 정리할순 있지만 이쯤되면 단순한 산수이므로 넘어갑시다 비슷한 종류의 다른 재밌는 식이 있는데 이 식은 더 확실하게 등비수열이란 것을 알 수 있습니다 먼저 합을 구할 항의 개수를 생각해 봅시다 79제곱까지 있으므로 79개의 항이 있다고 생각하기 쉬워 주의하셔야 합니다 첫 항이 0.99^0이고 두번째 항이 0.99^1 셋째항이 0.99^2 넷째항이 0.99^3이므로 0.99^79는 80번째 항이 됩니다 첫 80항의 합을 구하면 첫항은 1이므로 1곱하기 1-공비^80 빈칸으로 두는 이유는 우리가 공비를 구해야 하기 때문입니다 나누기 (1-공비)입니다 공비가 0.99라고 생각할 수도 있는데 여기를 보시면 부호가 계속 바뀌고 있습니다 따라서 이 문제의 핵심은 항을 넘어갈 때 곱하는 수인데 첫항에서 두번째 항으로 갈때 -0.99가 곱해집니다 따라서 -0.99를 곱하고 있는데 그 다음 항으로 갈 때도 -0.99가 곱해집니다 그러므로 공비는 +0.99가 아닌 -0.99입니다 따라서 -0.99를 적으면 (-0.99)^80이 되고 여기에 (1-0.99)를 나눠야 합니다 이 식을 조금 정리할 수 있는데 계산하면 1은 신경쓰지 않아도 되므로 1빼기 (-0.99)^80은 헷갈리지 않게 괄호를 칩시다 (-0.99)^80에서 지수가 짝수이므로 결과가 양수가 돼서 (0.99)^80과 같게 됩니다 빼기가 두 개이므로 더하기가 돼서 나누기 1.99가 됩니다 여기에서 더 정리해볼 수도 있겠지만 만약 계산기가 있다면 근삿값을 구할 순 있습니다 대부분의 계산기가 80제곱의 정확한 값을 계산하진 않으니까요 아무튼 이게 합의 값입니다 이런 문제를 한 개 더 풀어봅시다 여기는 수열이 점화식의 형태로 정의돼 있습니다 따라서 수열이 어떤 형태일지 생각해봐야 하는데 초항은 10이고 a_2은 (a_1)×(9/10) 입니다 따라서 (다음 항)=(그 전 항)×9/10이 됩니다 그러므로 10×9/10이 돼서 세 번째 항은 그 전 항인 두 번째 항 곱하기 9/10이 돼서 10×(9/10)^2이 됩니다 여기 쓰여진 형식을 보면 i의 최댓값이 정해져 있지 않으므로 합을 구할 범위를 정합시다 따라서 첫 30항 첫 30항의 합을 구해봅시다 S_30 즉 첫 30항의 합은 전에 하던 방식대로 (초항)×(1-공비^30) 에서 (1-공비)를 나누면 됩니다 (1-9/10)은 1/10이고 1/10을 나눈 것은 10을 곱한 것과 같으므로 100×(1-(9/10)^30) 이 됩니다 항상 괄호를 사용해 9가 아닌 9/10전체에 30제곱을 하는 것이란 걸 표시합시다 따라서 답은 100(1-(9/10)^30)입니다