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시그마 기호를 사용한 등비급수

동영상 대본

지난 번 영상에서 우리는 등비수열은 다음 항은 각각 그 전 항에 일정한 수를 곱하여 만든 수들의 배열로, 수열 중 하나라는 것을 보았습니다 그 일정한 숫자는 공비라고 부르고요 예를 들어 여기 있는 수열을 보면 각 항은 그 전 항에 2를 곱한 값입니다 2가 공비가 되는 것입니다 그리고 0 을 제외한 모든 수는 공비가 될 수 있습니다 음수까지도요 예를 들어 이렇게 생긴 등비수열이 있다고 합시다 1부터 시작하고 공비가 -3 이라고 한다면 1에 -3을 곱하면 -3 -3 에 -3 을 곱하면 +9 +9 곱하기 -3 은 -27 -27 곱하기 -3 은 +81 그리고 끊임없이 계속할 수 있을 겁니다 이번 영상에서 제가 보여주고 싶은 것은 등비수열의 항들의 합 다시 말해 등비급수입니다 화면을 좀 밑으로 내려보겠습니다 그럼 이제 등비급수에 대하여 얘기해 볼 텐데 이것은 그냥 말 그대로 등비수열의 합입니다 예를 들어 등비급수가 이 수열의 합이라고 했을 때 그렇다면 그것은 그냥 1+(-3) +9+(-27)+81.... 그리고 계속해서 더해나가다 보면 그 값이 등비급수가 되는 것입니다 무엇을 배우고 있는지 더 정확히 하기 위해 여기 위에 있는 것으로도 해보도록 하지요 3+6+12+24+48... 이것 또한 등비급수, 단순히 등비수열의 항들을 더한 값이 될 겁니다 그럼 이것을 어떻게 일반항으로 나타낼 수 있을까요? 시그마를 사용하는 것은 어떨까요? 첫째항부터 시작하면 되는데 일반항을 구하고 싶으면 첫째항을 a라고 놓을 수 있겠네요 첫째항 a로 시작하고 그 뒤에 더하는 항들은 각각 a 곱하기 공비가 될 것입니다 공비를 r이라고 합시다 2번째항은 그럼 a x r 이 됩니다 그리고 3번째항은 여기에 또 r을 곱해주면 됩니다 그럼 a x r2 이 되는 겁니다 계속해서 a x r3 까지도 더해주면 되는데 등비수열이 제한되어 있다고 합시다 영원히 할 필요가 없게 하기 위해서요 이 방법으로 계속 하다가 a x (r의 n승) 까지 갔다고 합시다 ar(n승) 이것을 그럼 시그마 기호로 어떻게 표현할 수 있을까요? 영상을 잠깐 멈추고 직접 해보시길 바랍니다 뭐, 이런 방법으로 생각해 볼 수 있을 텐데 제가 작은 힌트를 하나 드리겠습니다 여기 이 항은 a x (r의 0승) 이라고 볼 수 있습니다 적어볼게요 a x (r의 0승) 이것은 a x r, a x r2 a x r3 이니까 아마 규칙이 보일 겁니다 이것을 합으로 나타낼 수 있는데 시그마 기호를 여기에 쓰면 지수는 0에서 시작할 수 있습니다 k=0 에서 시작해서 k=a x (r의 n승) 이고 이 때 마지막 항은 그럼 a x (r의 k승) 바로 이것이 시그마 기호를 사용하여 r이 0을 제외한 공비가 될 때의 등비급수를 나타내는 방법입니다 공비는 물론 음수가 될 수도 있습니다