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주요 내용
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수열 문장제 문제: 성장 규칙

동영상 대본

우리는 여기서 의문을 가지게 됩니다. 이 블록들의 증가를 나타내는 수열을 나타내는 방정식이 무엇일까요? 그래서 우리는 만약에 x가 10일 때 얼만큼의 블록을 가지게 될까? 라는 것을 알아내려 합니다 자 그럼 여기 이 패턴을 보시죠 그럼 이 수열의 첫번째 항, 또는 첫번째 물건 또는 여기의 블록들의 첫번째 패턴은 그냥 1개의 블록입니다 써보면, 수열의 항 수열의 항, 그리고 블록의 수가 있겠죠 그래서 첫번째 항에서는 1개의 블록이 있었습니다 그리고 2번째 항에서는... 그냥 여기에 써보죠 우리가 이미 알고있으니까요. 어떤일이 일어났나요? 첫번째 항과 비슷해 보이지만, 여기에는 4개의 블록이 한줄로 더해졌습니다 그럼 1더하기 4라고 할수 있습니다 그럼 우리는 5개의 블록을 가지게 되겠군요 우리가 4개를 더했기 때문입니다 그럼 3번째 항에서는 무슨일이 일어났나요? 3번째 항에는 무슨일이 일어났나요? 2번째 항과 비슷해 보이지만, 여기에는 또 다른 4개의 블록이 1줄로 더해졌습니다 맞나요? 우리가 이 블록 4개짜리 기둥을 저기에 더한 것입니다 만약에 그 기둥들이 패턴의 왼쪽에 더해지고 있다고 생각해보면 4개의 블록이 또 더해졌습니다 이제 블록은 모두 9개 입니다 블록이 9개네요, 잘 보면 항이 1씩 늘어날때마다 4개의 블록을 더하는것으로 보입니다 그리고 4번째 항에도 똑같이 해줍니다 3번째 항은 바로 여기에 있고요 바로 이것이 3번째 항의 모습이고 우리는 블록4개짜리 기둥을 바로 여기에 더했습니다 결국 4개의 블록을 또 더했고, 블록은 13개가 되겠군요 그래서 4번째 항은 13 입니다 그림을 보던지 아니면 그 숫자들을 보면 공식 하나를 만들수 있겠네요 그 공식을 생각하는 한가지 방법으로는, x가 1일때, x 가 항이라고 해보죠 우리는 그냥 1을 더해줍니다 그리고 x가 2일때, 4개의 블록 1줄을 더해줍니다 그러면 x가 2일때, 4개의 블록 1줄이 있네요 그다음 x가 3일때 4개의 블록 2줄이 저기 있네요 x가 1일때는 0개의 기둥이 있다고 할수 있겠네요 맞나요? 어떠한 기둥도 추가되지 않아서 아무것도 없습니다 아무것도 없죠 그리고 x가 4일때, 3개의 기둥이 있습니다 x가 4일때 3개의 기둥이 있었습니다 자 그럼 이것에는 어떠한 패턴이 있을까요? 아니면 각 항에서의 블록의 수를 어떻게 하면 주어진 항들을 통해 표현할 수 있을까요? 음, 항상 1개의 블록을 가지는 것 처럼 보이니 여기에 쓰겠습니다 여기에 블록의 수를 써보면 언제나 1개의 블록을 가지고 있는 것 처럼 보이죠? 여기에 하나 있고, 저기에 하나, 저기 하나 저기 하나 계속 1개의 블록에다가 4개의 블록으로 이루어진 기둥들을 몇개씩 더하는 것같죠 하지만, 각 항에는 몇개의 기둥들이 있을까요? x가 1일때, 기둥은 한개도 없습니다 x가 2일때 1개의 기둥이 있죠 x가 3일때, 2개의 기둥이 있죠 그러므로 x가 어떠한 것에 해당해도 그 x보다 1작은 개수의 기둥을 가지게 되네요 그러니까 x 빼기 1이 되겠네요? x가 2일 때, x 빼기 1은 1입니다 x가 3일 때 x 빼기 1, 여기 x 빼기 1 x는 2 이면, x 빼기 1입니다 이것도 x 빼기 1입니다 이것도 x 빼기 1이죠, 그리고 이 x 빼기 1은 몇개의 기둥이 있는지를 말해줍니다. 맞죠? 여기 한개, 두개, 세개의 기둥들이 있고 여기 1개, 2개의 기둥들이 있고 여기에는 1개의 기둥밖에 없네요 여기는 0개의 기둥이 있습니다 그러므로 첫번째 항에도 적용됩니다 그리고 여기 있는 모든 기둥들의 수는 x 빼기 1이겠군요. 그리고 1개의 기둥에는 4개의 블록이 있습니다 그래서 기둥의 개수 곱하기 4입니다 각각의 기둥에는 하나, 둘, 셋, 네개의 블록이 있습니다 그러므로 이것은 이 패턴의 증가를 표현하는 방정식이죠 써보면, 조금만 간단히 써보죠 만약 4곱하기 x 빼기 1을 해서 블록의 수를 구하면 1더하기 4곱하기 x 분배해주면 4곱하기 x는 4x이고, 4곱하기 -1은 -4이죠 그러므로 이게 블록의 개수입니다 간단히 표현할 수 있겠네요 1과 -4 가 있으므로 4를 빼주면, 그것은 4x 빼기 3 이 되어서 그것이 블록의 개수를 나타내는 x에 관한 항이 되겠네요 그러므로 50번째 항에서는, 50곱하기 4 즉 200 빼기 3 은 197이므로 197개의 블록이 있겠네요 자 그럼 여러분이 할 수 있는 또다른 방법은 단순히 보면, 매번 4씩 더하고 있고 이것은 직선의 식이므로 기울기를 구할수 있는데 추정해 봅시다, 이 직선은 오직 정수에서만 정의되죠 그리고 조금 더 복잡해지지만 그것을 생각하는 방법은 우리가 블럭을 하나씩 더할때나, 아니면 하나의 항을 더할때마다 4개의 블록이 더해집니다 그러므로 이렇게 쓸 수 있겠네요 단순히 변화만 적을수 있겠네요. 이 삼각형은 변화량을 의미합니다 델타는 블록의 변화량 나누기 x의 변화량이죠 자 그럼 이걸 알아낼 수 있겠네요 바로 기울기 입니다 그리고 걱정하지 않는다면, 만약 기울기가 낯설게 느껴진다면, 그냥 이 동영상의처음 부분에서 했던것 처럼 할수도 있습니다 그리고 정말로 적절한 방법으로 바라건데 기울기의 의미와의 관계를 찾을수 있겠죠 기울기는 바로 x의 변화량에 따른 블록의 변화량이죠 그러므로 x가 1에서 2로 갈때, x의 변화량은 2 빼기 1을 해서 플러스 1이죠. 그렇다면 블록의 변화량은 얼마일까요? 그것은 4 또는 5빼기 1이라고 할 수있죠 5빼기 1이죠 이것은 무엇과 같죠? 이것은 1분의 4, 4라는 값을 가집니다 옆으로 스크롤을 좀 하겠습니다 그래서 블록의 변화량 또는 x의 변화량은 4이죠, 그리고 기울기는 바로 4입니다 만약에 여러분이 이런 방법으로 직선의 방정식을 세팅하고 싶으시다면 이 방정식을 이렇게 말할 수있겠네요 블록의 수는 항의 수 4 곱하기 우리가 다루는 항의 수이겠죠 그러니까 이것은 다시 말하면 우리가 다루고 있는 항의수 또는 이 패턴에서의 항의 수 곱하기 4 더하기 어떤 상수이겠죠 이것이 바로 우리가 구한 직선의 방정식 입니다 만약에 이것이 낯설게 느껴지신다면 이 영상의 앞부분에서 한 방법을 사용하셔도 좋습니다 이 상수는 어떻게 구할 수 있을까요? 자, 우리는 여기에 있는 항을 사용할 것입니다 우리는 첫번째 항에서 1개의 1개의 블록만을 가졌었다는 것을 알수있죠 이것에 대입해봅시다 첫번째 항에서, 우변에는 b가 있고, 좌변에는 1개의 블록만이 있었죠 그래서 1은 4 더하기 b 입니다 이 방정식의 양변에서 4를 빼주면, 그러니까 양쪽에서4를 빼면 무엇이 남나요? 좌변에는, 1 빼기 4를 해서 마이너스3 이고 그것은 4가 지워지니까 바로 b와 같습니다 그러므로 직선의 방정식을 구하는 다른 방법으로 우리는 b는 마이너스 3 이라는것을 구했습니다 우리는 블록의 변화량이 어떤 x의 변화량에 대해 그러니까 블록의 수가 x의 변화량에 따라 어떻게 변화는지를 관찰했고 그것은 언제나 4라는것을 봤죠 x의 변화량 마다 4씩 변합니다 x가 1만큼 변할 때, 블록은 4개씩 변합니다 그것이 기울기입니다 그리고 문제를 풀려면, 만약 이것을 직선으로 봤다해도 이것은 정수에서만 정의 되므로 아니 양의 정수에서만 입니다 이 경우에서는 이것을 y 절편으로 볼 수 있죠 그리고 이 상수를 구하기 위해 이 수열의 항중 한개를 이용했죠. 어떠한 항을 사용하셔도 괜찮습니다 우리는 1과 1을 사용했죠 3과 9를 사용해도 되고요 아무것이나 상관없습니다 우리는 b가 마이너스 3이라는 것을 알았고 그것을 다시 여기에 대입하면 우리가 앞에서 구했던 식인 바로 저기 있는 x 빼기 3이됩니다 재미있게 보셨기를 바랍니다