종속 확률: 동전

주머니 안에 8개의 동전이 있습니다 3개의 동전은 앞면이 나올 확률이 60%라는 점에서 균등하지 않고 나머지는 모두 앞면이 나올 확률이 50%인 동전입니다 세 개는 앞뒷면이 나올 확률이 다른 동전입니다 제가 또는 이 문제가 '공정한' 동전이라고 부른다면 그것은 앞면과 뒷면이 나올 확률이 50/50이라는 것을 의미합니다 당신이 주머니에서 랜덤하게 하나의 동전을 꺼낸 뒤 그것을 두번 던진다고 합시다 앞면이 두 번 나올 확률은 몇 퍼센트가 될까요? 흥미로운 문제입니다 하지만 의사 결정 트리를 통해 분석해본다면 좀 더 쉽게 알아 볼 수 있을 것입니다 자 그럼 우리가 가지고 있는 가방 속에서 세 개의 동전은 '공정하지 못한' 동전입니다 가방을 시각화해보겠습니다 매번 이렇게 할 필요는 없습니다 자 그래서 공정한 동전은 흰색으로 나타내겠습니다 1, 2, 3, 4, 5 개의 공정한 동전이 있습니다 그리고 세 개의 공정하지 않은 동전이 있습니다 1,2,3 여기 이것이 저 가방입니다 동전이 들어있는 가방 말입니다 제가 만약 가방에 손을 집어 넣어 이 흰색 동전 중 아무거나 집게 된다면 앞면이 나올 확률이 50%가 될 것입니다 앞면이 연속으로 2번 나올 확률은 50% 곱하기 50%가 될 것입니다 이 흰색 동전에 한해서는 말입니다 하지만 흰색 동전을 집게 될지는 모르는 일입니다 만약 오렌지색 동전을 집게 된다면 앞면이 나올 확률은 60%입니다 앞면이 나올 확률이 60%이므로 오렌지색 동전을 집을 경우 두 번 연속 앞면이 나올 확률은 60% 곱하기 60%가 될 것입니다 이 경우에 흰색 동전을 뽑았을지 오렌지색 동전을 뽑았을지 모른다면 어떻게 할까요? 실제로는 흰색이나 오렌지색이 아니라 평범한 동전처럼 똑같이 생겼다고 생각해봅시다 제가 할 일은 의사결정트리를 그리는 것입니다 저는 이것을 확률트리라고 부르겠습니다 그래서 제가 공정한 동전을 뽑게될 확률이 있을 것이고 공정하지 못한 동전을 뽑게 될 확률이 있을 것입니다 공정한 동전을 뽑게 될 확률은 8개의 동전 중 5개가 공정하니까 5/8가 될 것입니다 여기 가지에 써보도록 하겠습니다 공정한 동전을 뽑을 확률은 5/8입니다 그리고 세 개- 8개 동전 중에서 3개가 공정하지 못한 동전입니다 제가 만약 공정한 동전을 뽑을 확률을 물어본다면 여러분은 5/8라고 할 것입니다 그렇다면 불공정한 동전을 뽑을 확률은요? 3/8입니다 여러분이 원하는 방식대로 소수나 퍼센트 확률로 나타낼 수 있을 것입니다 이제 공정한 동전을 뽑았다고 가정하고 앞면이 두번 나올 확률은 어떻게 될까요? 이렇게 써보도록 하겠습니다 이렇게 표현해보도록 하겠습니다 앞면이 두번 나올 확률은 두 번 연속 앞면이 나오게 된다면 공정한 동전을 집었다고 할 때 말입니다 뭔가 있어보이는 표현방법이지만 보시는 그대로입니다 동전이 각각 앞뒷면이 나올 확률이 정확히 같다면 앞면이 나올 확률은 50%일 것입니다 그렇다면 두 번 연속 앞면이 나올 확률은 어떻게 될까요? 그럴 때엔 그것은 그냥 - 50% 곱하기 50%인 25%가 될 것입니다 이제 공정한 동전을 뽑았을 때 두번 연속 앞면이 나올 확률은 공정한 동전이므로 25%의 확률로 앞면이 두 번연속적으로 나올 것입니다 그렇다면 공정한 동전을 뽑고 그 뒤 앞면이 두 번 연속으로 나올 확률은 5/8 곱하기 25%가 될 것입니다 그러므로 확률은 이 가지를 보면 이렇게 그려보겠습니다 이 두 사건이 모두 일어날 확률은 동전을 뽑는 것 부터 시작해서 두 번 연속 앞면이 나올 확률은 - 이렇게 써보도록 하겠습니다 - 여기 있는 5/8 곱하기 0.25입니다 정확하게 나타내고자 합니다 0.25는 두 번 연속 앞면이 나올 확률입니다 공정한 동전을 가졌을 때 말입니다 그래서 이 두 사건이 모두 일어날 확률은 둘을 곱해야할 것입니다 공정한 동전을 뽑을 확률을 곱해주어야합니다 다르게 생각해보면 이는 공정한 동전을 뽑고 두 번 연속 앞면이 나올 확률이 됩니다 불공정한 동전을 뽑았을 때의 경우도 똑같이 해봅시다 그래서 확률은- 같은 색깔로 표시하겠습니다 앞면이 두번 나올 확률은 불공정한 동전을 뽑았을 때 말입니다 불공정한 동전일 때 앞면이 두 번 연속으로 나올 확률은 어떻게 될까요? 이 불공정한 동전은 60%의 확률로 앞면이 나옵니다 이는 0.6 곱하기 0.6으로 0.36입니다 불공정한 동전을 갖고 있다면 불공정한 동전을 갖고 있다는 사실을 알고 있다면 그 사실이 주어졌다면 36%의 확률로 앞면이 두 번 연속 나올 것입니다 이제 전체적인 확률을 구하고자 한다면 불공정한 동전을 뽑고 그 다음 연속적으로 두 번 앞면이 나올 확률은 불공정한 동전이 나오고 앞면이 두 번 연속 나올 확률은 불공정한 동전이라는 사실이 주어졌다면 3/8 곱하기 0.36을 해서 - 3/8 곱하기 0.36 계산기로 계산해봅시다 이를 계산해보면 5/8 곱하기 0.25 -- 소수로 나타내겠습니다 0.15625 그래서 0.15625가 됩니다 다른 파트를 계산해보겠습니다 3/8 곱하기 0.36을 ㄴ 0.135가 나옵니다 그래서 0.135입니다 누군가가 여러분에게 공정한 동전을 뽑고 앞면이 두번 연속 나올 확률을 묻는다면 이것이 확률이 될 것이고 불공정한 동전을 뽑은 다음 두 번 연속으로 앞면이 나올 확률을 묻는다면 이 확률이 될 것입니다 누군가가 만약 두번 연속 앞면이 나올 확률을 묻는다면 여기서는 앞면이 두 번 나올 확률을 구해야합니다 두 번 연속 앞면이 나오는 경우는 공정한 동전을 뽑았을 때도 가능하고 - 불공정한 동전을 뽑았을 때도 가능합니다 두 경우에도 모두 가능하므로 두 확률을 더하면 됩니다 두 경우가 모두 우리가 구하고자하는 경우를 만족하므로 두 확률을 더하면 됩니다 해봅시다 0.135를 0.15625에 더해봅시다 그러면 0.29125가 됩니다 0.29125 0.15625+0.135가 구하고자하는 확률입니다 퍼센테지로 나타내고 싶다면 100을 곱하면 됩니다 퍼센테지 기호를 써줍니다 그래서 이는 29.125%가 됩니다 반올림해준다면 정확히 이 숫자를 이야기해도 되고 약 29.13%라고 할 수도 있습니다 얼만큼 반올림하냐에 따라서 달라집니다 1/3보다 적은 확률입니다 왜냐하면 공정한 동전이라면 - 가방안의 모든 동전이 공정한 동전이라면 25%의 확률일 것입니다 왜냐하면 아무 동전이나 뽑아도 앞면이 나올 확률은 모두 같으므로 두 번 던졌을 때 앞면은 25%의 확률로 나올 것입니다 우리가 구한 확률은 이보다 조금 더 높습니다 왜냐하면 3/8의 확률로 불공정한 동전을 뽑는다면 앞면이 나올 확률이 조금 더 높기 때문입니다