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다항식에서 가능한 실근의 개수

동영상 대본

7차 다항식으로 정의된 함수 p(x)가 있습니다 여기 있는 다항식의 가능한 실근의 개수는 몇 개일까요? 가능한 실근의 개수를 생각해 봅시다 9개의 실근은 어떨까요? 잠깐 영상을 멈추고 가능한 실근의 개수를 생각해 보세요 생각해 보셨나요? 대수학의 기본 정리에 따르면 근의 개수는 7개입니다 그 중 어떤 근은 실근일 것입니다 그래서 8, 9, 10개의 실근을 가지는 것은 불가능합니다 최대 7개의 실근을 가질 수 있습니다 그래서 실근의 개수는 7개일 수도 있습니다 이 함수를 그래프로 그리면 x축과 7번 만날 수도 있습니다 그렇다면 6개의 실근을 갖는 것이 가능할까요? 6개의 실근도 가능할까요? 이 경우에 허근은 어떻게 되는지 생각해 봅시다 6개의 실근을 갖는다면 아 이렇게 합시다 이런 식으로 쓰겠습니다 실근과 허근입니다 그냥 복소수근이라고 하지 않는 이유는 실수 역시 복소수의 부분집합이기 때문입니다 이렇게 쓰면 복소수 중에서 실수를 제외할 수 있습니다 7개의 실근과 0개의 허근을 가지는 경우가 있습니다 이 경우는 분명히 가능합니다 6개의 실근과 1개의 허근은 어떨까요? 이건 불가능합니다 왜냐하면 허근은 항상 쌍으로 나타나기 때문입니다 켤레로 말입니다 그래서 허근의 개수는 항상 짝수입니다 한 개가 될 수는 없습니다 이 가능성은 지우겠습니다 5개의 실근은 어떨까요? 더해서 7개니 허근은 2개일 것입니다 이 경우는 가능합니다 허근이 짝을 이루니까요 그러면 규칙이 보입니다 7 이하의 홀수 개수의 실근을 가질 수 있습니다 예를 들어 이 경우는 가능했고 계속하면 실근 4개와 허근 3개는 허근의 개수가 홀수라서 불가능합니다 허근의 개수는 짝수여야 합니다 이 경우도 제외하고 그 다음 실근 3개와 허근 4개는 확실히 가능합니다 허근의 쌍이 2개 있습니다 그 다음 실근 2개와 허근 5개는 이번에도 허근의 개수가 홀수라서 불가능합니다 실근 1개와 허근 6개는 허근의 개수가 짝수이므로 가능합니다 마지막으로 실근 0개와 허근 7개는 불가능합니다 허근이 짝을 이룰 수 없으니까요 여기는 항상 짝수가 되어야 합니다 그래서 이런 7차 다항식의 가능한 실근의 개수는 7, 5, 3, 1개입니다