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그래프를 활용하여 방정식 풀기 1

동영상 대본

E(x)=e^x와 R(x)=1/x(x-1)(x-2)의 그래프가 그려져 있습니다 E(x), 즉 e^x와 R(x)의 값이 같아지는 연립방정식의 해를 오차를 0.01 안으로 찾으라는 문제입니다 그렇다면 어느 x 값에서 E(x)의 값과 R(x)의 값이 같아질까요? 이것이 우리가 구해야 하는 것입니다 우리는 이 그래프에서 답에 가까운 값을 구하려고 해도 됩니다 오차가 0.01 이내가 되도록 말이죠 또는 계산기를 사용해도 됩니다 E(x)와 R(x) 값의 차이가 0이 되는지 이 점에서 대입하는 것입니다 이 문제를 해결하기 위해 작은 표를 그려 봅시다 몇 가지 x 값을 직접 대입하는 것이지요 그리고 각각의 x 값에 대해 E(x)와 R(x)의 값을 비교해 봅시다 그러면 이 값과 실제 답을 비교할 수 있을 것입니다 제가 이것을 먼저 하기 전에 잠깐 동영상을 멈추고 직접 해 보세요 물론 계산기를 쓰거나 또는 그냥 계산기를 쓰는 게 낫겠군요 여러분이 해 보셨다고 믿고 제가 해 보겠습니다 먼저 값을 추정해 봅시다 눈대중을 해 보는 것은 어떤 x에서 두 값이 같을지 추측하는데 첫 발걸음이 됩니다 그래프를 보았을 때 약 2.1 쯤에서 함수값이 같아질 것 같군요 x가 2.1일 때 두 함수값이 비슷해 보입니다 7.7 또는 7.8 근처인 것 같아요 그러면 확인해 보죠 x가 2.1일 때 계산기로 계산하면 x=2.1일 때 E(x)는 그냥 e^x이니까 e의 2.1제곱은 8.166입니다 일단 8.166을 써 둡시다 그러면 R(x)는 어떨까요? R(x)는 1 나누기 x, 그러니까 2.1 곱하기 x-1 그러니까 여기서는 1.1 곱하기 곱하기 x-2 여기서는 0.1이죠 그러면 이 값은 4.. 제가 제대로 했나요? 뭔가 이상합니다 2.1 곱하기.. 2.1 곱하기 1.1 곱하기 0.1 이 분모가 되고 1이 분자가 돼야 해요 4.32? R(x)의 x에 2.1을 대입했을 때 4..이라니 가능할 수도 있겠네요 맞군요. 왜냐하면 R(x)가 이 구간에서 급격히 감소하기 때문이죠 그러니까 x=2.1에서 R(x)는 약간의 오차는 있을지 몰라도 여기쯤이죠 이 값이 4.32이에요 x=2.1을 대입했을 때 E(x)가 R(x)보다 훨씬 크죠 E(x)가 훨씬 큽니다 R(x)는 여기서 꽤 아래쪽에 있네요 그러면 조금 더 작은 2를 대입하면 이 구간에서는 R(x)가 급격하게 위로 올라가죠 2에 가까이 갈수록 무한히 커지네요 그러니 2를 대입하지 말고 약간만 덜 줄여서 2.05로 계산해 봅시다 x=2.05에서 E(x)의 값은 어떻게 될까요? E(x)는 e^x입니다 e^2.05는 7.76 -- 반올림하면 8, 즉 7.768이 되요 물론 이 값은 근삿값입니다 간단히 7.768이라고 쓰겠습니다 그러면 R(x)는 어떻게 될까요? 똑같이 유효숫자 네 개로 근사해 봅시다 여기서는 크기 차이가 커서 반올림을 크게 할 필요가 없습니다 값이 329니까 여기에-- 3290이니까 9를 써 주죠 이제 유효숫자가 네 개가 되었어요 이제 x=2.05일 때 R(x)를 계산해 봅시다 1 나누기 x 즉 2.05 곱하기 x-1 즉 1.05 곱하기 x-2, 즉 0.05를 계산하면 9.29..가 되고 유효숫자 네 개로 나타내면 9.292가 되죠 이 때는 R(x)가 대략 이 쯤에 있고 이 값은 여기 있는 E(x)값 즉 7.7보다 더 큽니다 이제는 x값이 너무 작아졌네요 그러면 이제 x값을 조금 더 크게 해 보죠 이 두 값의 평균을 대입해 보죠 어차피 허용오차가 0.01이니 꼭 정확할 필요는 없겠죠 그러니 2.07로 해 봅시다 e^2.07은 유효숫자 네 개로 하면 7.925입니다 모든 색깔을 초록색으로 하죠 이제 R(x)에 대입해 보죠 1 나누기 x 즉 2.07 곱하기 1.07, 곱하기 0.07 이 값은 6.44.. 반올림하면 6.450이 됩니다 2.05는 너무 작고, 2.07은 너무 크군요 R(x)가 E(x)보다 아래에 있으니까요 우리는 답이 이 두 값 사이에 있는 것을 알아냈습니다 x=2.06 에서는 분명히 정답과의 오차가 0.01보다 작을거에요 2.06을 대입하면 이 방정식의 해와 0.01 이하의 오차가 날 것입니다 하지만 그냥 맞는지 확인해 보도록 하죠 e^2.06은 7.84...반올림하면 7.846이 됩니다 그리고 R(x)를 계산해 보면 1 나누기 2.06 곱하기 2.6 빼기 1을 하면 1.06 곱하기 0.06이니 답은 7.632가 되네요 굉장히 정답에 가까워졌군요 하지만 문제에서 주어진 허용오차는 두 함숫값의 차이가 아닌 정확한 x 값과의 차이에요 정확한 방정식의 근이 있는데 두 함숫값이 같아지는 x에서의 값 즉 이 교점의 x 좌표와 차이가 0.01보다 작아져야 하는 것입니다 그리고 2.06은 확실히 답이 될 수 있군요