파스칼의 삼각형 없이 이항식 전개하기

이번 영상에서는 차수가 큰 이항식의 거듭제곱을 구해보겠습니다 이 영상을 본 후에는 이 활동이 이항정리와 어떻게 연관되는지 파스칼의 삼각형과 어떻게 연결되는지 한번 알아보세요 (x+y)^7 이 있습니다 8개의 항이 나올 것입니다 그 이유는 무엇일까요? (x+y)^1 은 두개의 항이 있습니다 (x+y)^2 는 세개의 항이 있습니다 (x+y)^3 은 4개의 항이 있습니다 그러므로 (x+y)^7 은 8개의 항을 가질 것입니다 각각의 항을 위한 칸을 만들겠습니다 지금 쓰는 것은 계수가 아니라 각각의 항에 대한 칸일 뿐입니다 첫번째, 두번째, 세번째, 네번째 다섯번째, 여섯번째, 일곱번째, 여덟번째 이제 x와 y를 써봅시다 첫 항은 x^7로 시작할 것입니다 그 다음의 각 항에서 x의 차수는 1씩 줄어듭니다 그러므로 6승, 5승, 4승, 3승, 2승, 1승 x의 1승은 그냥 x라고 쓰겠습니다 여긴 x의 0승이 될 것입니다 즉, 1입니다 이제 y에 대해 생각해봅시다 y^0으로 시작할 것입니다 어차피 1이므로 쓰지 않겠습니다 이 다음엔 1승, 2승, 3승, 4승, 5승, 6승입니다 그 다음으로 y의 7승입니다 각 항에 대해서 문자들의 차수의 합은 7이 됩니다 여기서도 그렇습니다 x^1 * y^6입니다 1+6은 7입니다 이제, 계수를 실제로 계산해봅시다 첫 항의 계수는 1입니다 각 항의 계수는 이전 항의 차수와 (이 경우엔 7입니다) 이전 항의 계수를 곱하고 이전 항의 번호로 나눠준 수입니다 즉, 두번째 항의 계수는 7*1 / 1 입니다 계산하면 7입니다 이 항은 어떤가요? 같은 과정을 적용해봅시다 x의 차수를 사용해봅시다 x 의 차수, 즉 6에다 이전 항의 계수, 즉 7을 곱합니다 그 과정을 거친 다음 이전 항의 번호로 결과물을 나누어줍니다 이 경우에는 2로 나누어주면 됩니다 3*7을 계산하면 될 것입니다 즉, 21입니다 이 항에다 같은 과정을 적용합시다 이전 항에서 x의 차수는 5입니다 여기에 이전항의 계수를 곱합시다 21을 곱해줍니다 그 다음, 이전항의 번호인 3으로 나누어줍니다 그 결과 5*21/3 은 35가 됩니다 이런 식으로 계속 계산하거나 대칭성이 존재한다는 것을 이용해도 됩니다 이 항이 1이라면, 마지막 항도 1입니다 두번째 항이 7이라면 끝에서 두번째 항도 7입니다 세번째 항이 21이라면 끝에서 세번째 항도 21입니다 네번째 항이 35라면 끝에서 네번째 항도 35입니다 이렇게 (x+y)^7의 전개를 해보았습니다