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연립일차방정식을 행렬방정식으로 풀기

동영상 대본

지난 영상에서 저희는 두 미지수가 포함된 연립방정식을 새롭게 행렬방정식으로 나타내어 여기 보시면 행렬 A의 계수들이 왼쪽에 나타나 있고요 이 열 벡터 X는 이 식에서 S와 T라는 두 미지수를 포함하고 있습니다 그리고 역시 열 벡터 B가 본질적으로 이 오른쪽에 있다는 사실을 볼 수 있으실 겁니다 여기서 흥미로운 점은 바로 방정식 A에서, 행렬 A와 열 벡터 X를 곱한 값이 열 벡터 B가 된다는 점입니다 여기서 흥미로운 점이 무엇이었냐면 만약 행렬 A의 역행렬이 존재한다면 우리는 왼쪽과 오른쪽 모두를 곱할 수 있을 것입니다 바로 이 방정식에서 말이죠 그리고 또 우리는 왼쪽 식에 이것들을 역시 A 역행렬의 각 부분들과 곱해주어야 하지요 왜냐하면 기억하세요! 행렬을 곱할때 순서를 상관해야 한다면 행렬의 왼쪽 부분을 방정식에 양 쪽에 모두 곱해주어야 한다는 뜻입니다 만약 그렇게 한다면 우리는 근본적으로 미지수가 포함된 열 벡터 문제를 풀 수 있게 되지요 만약 우리가 열 벡터 x가 무엇인지 안다면, S와 T 역시도 무엇인지 알게 될 텐데요, 그러면 우리는 근본적으로 이 방정식 체계를 풀 수 있게 된 겁니다 이제 정말로 해보죠 정말로 역행렬 A가 무엇인지 또 그것과 열 벡터 X를 함께 곱함으로써 열 벡터 X는 무엇인지, 더 나아가 S와 T가 무엇인지까지 말이죠 역행렬 A는 여기서 행렬식 A의 이 값과 같은데요, 여기 쌍으로 있는 이 식 말이죠 2 곱하기 4한 값에 -2 곱하기 -5한 값을 빼주면 되는 것이죠 따라서 정리하면 8 에서 10을 빼면 되겠군요 8 -10 -2라는 사실을 알 수 있지요 여기 이 값이 바로 -2가 되는 것이고요, 한 번더, 2 곱하기 4해서 나온 8이라는 값에 -2 곱하기 -5 한 값을 빼준 것이 10을 빼준 것이 되어 최종적으로 -2가 나오게 된 것입니다 바로 여기 이 행렬식을 곱했었죠 바로 행렬 A의 수반행렬이라 불리는 행렬입니다 맨 위 왼쪽 식과 오른쪽 아래 또는 적어도 두 쌍 행렬을 서로 바꾸는 역할을 하는 식인데요, 그래서 이 값은 4가 되고요 여기는 2가 되겠죠 제가 이 값들을 서로 바꿨다는 사실을 꼭 알아 두세요 그랬기 때문에 여기 두 계수의 부호가 바뀌는 것이죠 원래 있던 계수들의 부호를 바꾸는 것을 말합니다 여기 -2가 있었으니깐 부호를 바꾸어 그냥 2가 되겠고요, 여기 있는 계수 역시 그냥 5가 되지요 만약 지금 하고 있는 이 과정이 여러분에게 숙하지 않다면, 앞으로 돌아가서 튜토리얼을 다시 보고 오길 권합니다 역행렬에 관한 동영상 말이죠 그래야 지금 하고 있는 것을 잘 이해할 수 있을 겁니다 그래서 이 식에서 역행렬 A가 역행렬 A 말이죠, -1/2 곱하기 4가 되어 -2라는 값이 되겠네요 -1/2, -1/2 곱하기 5는 -2.5라는 값이 되는데요, 역시 -1/2에 2를 곱하면 -1이 되죠 -1/2 곱하기 2 해서 -1을 구한 겁니다 그래서 이게 바로 여기에 역행렬 A에 대한 계산이었고요, 이제 역행렬 A를 열 벡터와 곱해 봅시다 7과 -6이라는 값이 있군요 그럼 해 봅시다 여기 역행렬 A가 있고요, 다시 써보겠습니다 -2, -2.5, -1이 차례대로 있네요 -1 한번 더 써 줘야죠 한번 쭉 다시 써보는 것이 낫겠군요 여기 7과 -6이 있고요 우리는 이미 행렬의 곱셈에 대해서 많은 연습을 해왔습니다 그래서 이제 이 값은 무엇이 될까요? 첫 번째 계산은 -2에 7을 곱해 나온 -14라는 값에 -2.5 곱하기 -6을 해주는 것입니다 여기 보시면 양수가 되겠군요 12에다가 3을 더한 값 즉 15가 나오겠습니다 15 말이죠 -2.5 곱하기 -6이 바로 15가 되겠네요 그러면 이제 우리는 여기 -1과 7을 곱해 -7이라는 값을 구하고 -1과 -6을 곱한 값과 더하면 되는데요, 일단 얘를 간단히 하면 6이 되죠 따라서 역행렬 A와 행렬 B를 곱한 값이 열 벡터 X와 같다는 사실을 마침내 밝혀낸 겁니다 여기서 행렬 계산을 좀 더 해봐야 하겠는데요, 열 벡터 1,-1과 우리가 방금 밝혀낸 것이 바로 이 열 벡터 X가 벡터 1, -1과 같다는 것이죠 또는 우리가 이 열벡터를 열 벡터 ST라고도 부를 수 있겠는데요, S와 T를 가진 열 벡터가 바로 벡터 1, -1 과 같다는 것이죠 벡터 1, -1 말입니다 다른 방식으로 말하자면 S는 1이고 T는 -1이라고 표현 할 수 있겠지요 물론 저도 압니다 저번 영상에서 제가 이 영상에서 제가 다시 설명할 거라고 했는데요, 여러분은 아마 생각하기를, 그냥 이 방정식을 제거와 교체의 방식으로 푸는게 훨씬 쉬울 것 같다고 생각하실 겁니다 물론 동의하지만, 이 방법도 꽤 쓸만하죠 왜냐하면 당신이 만약 계산을 하는 중에 행렬의 왼쪽 부분이 같게 남아 있는 형태를 보는 경우가 발생할 텐데요, 하지만 여기에는 많은, 많은 다른 값들이 존재하기 때문에 바로 오른쪽에 말이죠 그래서 그냥 역행렬을 한 번 구해서 계속 곱하는 것이 훨씬 쉽다고 말하는 것입니다 역행렬에 계속 곱해주는 것이죠 오른쪽에 다른 부분들과 말이죠 여러분은 아마도 몇몇 형태들과는 친숙하실 겁니다 도형 처리 장치라던가, 컴퓨터에 그래픽 카드를 다룰 때 특별한 도형 처리 장치 이야기가 종종 나오곤 하는데요, 이 모든 것들이 정말로 특별한 목적을 지닌 하드웨어에 빠른 행렬 곱셈을 위한 것들이죠 왜냐하면 여러분이 도형 문제들을 처리할 때에 예를 들어 형태를 구축한다던가 하는 것 말이죠 3차원 환경에서요 이 모든 변형들을 진행해야 할 텐데요, 여러분은 그냥 정말 많은 행렬 곱셈들 정말 빠르게 진행해야 하는 것입니다 현실에서 유저가 컴퓨터 게임을 할 때 또는 무엇을 하든지간에, 그들이 특정한 형태 즉 3D 환경, 현실 환경에 있다고 느끼게 되는 것이죠 어쨌든 뭐, 그 점을 한 번 짚어보고 싶었습니다 제가 그냥 이 식을 아무 생각 없이 보았다면 이런 식으로 풀진 않았겠죠 제 본능은 제거의 방식으로 푸는 것을 더 좋아할 텐데요, 하지만 이렇게 생각하는 능력도 때론 필요합니다 행렬방정식을 정말로 유용하게 쓰이기 때문이죠 계산에서뿐만이 아니라 좀 더 고차원적인 과학을 접하다 보면 물리학 같은 것 말이죠, 당신은 아마 이런 수많은 행렬벡터방정식들을 만나게 될 것입니다 일반적으로 보자면요 따라서 매우 중요합니다 이것이 실제로 무엇을 나타내는지를 밝혀내는 과정들이 말이죠 그리고 어떻게 문제를 해결해가는지도요