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연립일차방정식을 행렬방정식으로 나타내기

동영상 대본

연립 방정식이 있어요. 2개의 미지수와요. 이를 어떻게 구하는지 봤었는데, 여러 개의 기술들을 썼었어요. 대입, 상쇄, 그리고 여기에서 할 수 있는 이것이요. 사실 여기에서 이 둘을 더하면 돼요. 왼쪽의 등식들과 오른쪽의 등식들 이둘은 상쇄될 거에요. 최소한 이 예제는 생각보다 쉽다는 것을 보여주기 위해서 한번 해봐요. 좌변을 더하면 이들이 상쇄되죠. 그럼 -t만 남게 돼요. -t는 7 더하기 (-6), 즉 1과 같아요. 즉 t는 -1이 되는 거죠. t는 -1이에요. t가 -1이면, 맨 위의 등식, 둘 중 아무거나 써도 되지만 2s로 간단히 돼요. -5 곱하기 -1은 5고, 거기에다가 5를 더한 것은 7과 같은데 이것은... 같은 색깔을 써보도록 하죠. 이 부분을 머리에서 해보면 2s는 2와 같아야 하고 s는 1과 같아요. 2 곱하기 1 더하기 5는 7이고, 즉 s는 1과 같아요. 비교적 쉽죠? 이 비디오에서 할 것은 같은 방정식을 다룰 것인데 근본적으로 다룰 거에요. 행렬로요. 그리고 역행렬로 풀거에요. 살짝의 경고를 주자면. 좀 더 집중해야 할 거에요. 좀 더 오랜 시간이 걸릴 것이고 아마 여러분은 "이런걸 왜 하고 있지?"라 할거에요. 우리가 이번 비디오에서 할 것은 이와 매우 비슷한 것을 풀어야 하는 계산을 할 때 쓰일거에요. 끊임없이 다시요. 좌변은 같을지 몰라도 우변은 계속해서 바뀌거든요. 그리고 이런건 컴퓨터 게임 만들면서 문제를 풀면서도 볼 수 있을 거에요. 이게 전체적인 주제에요. 행렬의 많은 값들은 문제를 대표하는 다양한 방법들로 수학 문제가 대표적이고, 데이터를 표현하는 방법이고, 그 후에 우린 행렬식을 필요에 따라 바꾸기 위해서 쓸 수 있어요. 우리가 컴퓨터 프로그램을 짜고 있을때, 아니면 그런 비슷한 종류를 좀만 참아줘요. 언젠가 좋아질 거에요. 우리가 지금 하고자 하는 것은 사실 꽤 유용하다는 것을 볼 수 있을 것이고 우리가 지금 처음 봐야하는 것은 행렬식을 통해 대표될 수 있다는 거에요. 지금 제가 할것은 여기있는 계수를 가지고 이 계수들요, 즉 2, -5 2, -5 -2, -2, 4, 그리고 4 제가 지금 한 것은 여기 있는 계수들을 갖다가 이를 열의 벡터를 곱하면 열의 벡터 st, s와 t, 이는 열 벡터인 7, -6, 7, -6은 여기에 있는 것과 정확히 같아요. 이는 s와 t에 대한 같은 제약들을 나타내고 있어요. 여러분은 "잘 이해가 안되는데"라고 할 수도 있어요 만약 잘 이해가 안된다면 이를 곱해봐요. 곱해보고 어떤 값과 같아져야 하는지 생각해봐요. 이 값을 보면 첫번째 열과 행, 이것이 되겠죠 우리는 이 행과 열을 다룰 거에요. 잘 생각해보면 이는 2 곱하기 s, 2 곱하기 s 더하기 -5 곱하기 t, 즉 -5 곱하기 t는 여기 위에 있는 첫 값과 같다는 첫 열, 첫 행은 7과 같다는 것을 알 수 있어요. 제가 한 것은 곱하는 것이 다입니다. 첫 열과 행을 가지고만 다뤘고, 본질적으로 내적을 하는 것이죠. 그리고 내적이 뭔지 몰라도 괜찮아요. 다른 데서 설명해줄게요. 제가 여기서 한 것이 첫 값 곱하기 첫 값 두번째 값 곱하기 두번째 값 둘이 더하면 7과 같을 것이고, 이를 하게 된다면 첫 번째 등식을 세우면 두번째 행과 이 열 가지고 한다면 두번째 등식을 세울 수 있을 거에요. 그러면 -2 곱하기 s, -2 곱하기 s 더하기 4 곱하기 t, 4 곱하기 t는 -6과 같다는 것이죠. 여러분이 이것이 저것과 같은 정보를 담고 있다는 것을 알았으면 해요. 이를 할 수 있던 다른 방법들이 있었을 거에요. 예를 들면, 이렇게 쓰는 대신 다른 방법으로 쓸 수 있는데 이 둘은 분명히 같은 거에요. 본질적으로 이것은... 복사 붙여넣기 해보도록 할게요. 이는 이것과 같은데.. 또 복사 붙여넣기 하고 이 연립 방정식과 같은데 바꾼 것이에요. 또다시 복사 붙여넣기 해요. 즉 우리는 두번째 것을 먼저 쓰고 첫번째 것을 나중에 썼으니까 본질적으로 같은 것이죠. 행렬식을 이를 바탕으로 세우고자 하면, 모든 열을 바꿔버릴 거에요. 그러면 첫번째 열은 -2, 4와 같을 거에요. 계수를 위해서 열을 바꿔보면, 그대신 s와 t는 같은 순서대로 냅두고, 이렇게 할 수 있을 거에요. 이를 여기에다가 이렇게 행렬식으로 써볼게요. 그럼 2, 4, 2, -5가 있는 행렬이 하나 있을 것이고 얘는 -6, 7이 될 거에요 이를 이렇게 설정해야 될 것인데 우리가 실제로 이를 어떻게 풀 것인가요? 이걸 애초에 왜 하나요? 이를 생각해보려면 말 그대로 행렬식 측면에서 생각해봐요. 행렬 A, 여기 있는 것이 네 여기 있는게 행렬 A라고 해요. 여기 있는게.. 행 벡터 x라고 해요. 벡터 x라 여기에 쓸게요. 그러면 행 벡터 x가 여기 있고 여기 바로 있어요. 이는 행 벡터 b와 같다 해요. 네 행 벡터 b와 같아요. 우리는 본질적으로 A, 그니까 행렬 A 곱하기 행 벡터 x는 행 벡터 b와 같다는 말입니다. 이를 여기에 다시 써볼게요, 그저 강조하려고요. 행렬 A 곱하기 행 벡터 x는 행 벡터 b와 같을 것이에요. 이것이 우리가 여기에서 행렬식에 대해 얘기할때 하고자 하는 말이에요. 계산 전이랑 컴퓨터 그래픽 그런걸 하기 전에도, 우리는 이와 같은 것들을 물리에서 볼 수 있을 것이고, 일반적으로는 그들은 심지어 행렬의 차원마저도 분명히 하지 않을 수도 있고, 이 벡터의 차원도요 그러나 물리와 같은 곳에서의 보편적인 성질에 대해 얘기하는 것입니다. 행렬 벡터는 이와 같이 어려운 과학에서 많이 볼 수 있을 거에요. 그러나 다시 한번, 메인 이슈로 돌아가자면 실제로 이를 어떻게 푸나요? 하나의 방식은 우리는 이미 행렬이 순서를 바꿀 수 없다고 했으므로 행렬 A의 역행렬이 생긴다는 것을 의미하고 행렬 A와 A의 역행렬을 곱하면 항등 행렬이 되는 것이죠. 좌변을 A의 역행렬을 곱하면 양변을 곱해야 할 것이고 자 기억해요. 행렬을 곱할때 순서가 중요해요. 좌변을 곱하기 위해 양변에 A의 역행렬을 곱하면 그러면 A의 역행렬 곱하기 A 곱하기 x는 A의 역행렬과 같아요. 기억해요, 우리는 두 개의 등식에 양변을 곱하는 것이고, A의 역행렬 곱하기 열 벡터 B인데 이것이 왜 재미있나요? 우리는 역행렬 곱하기 A가 A가 순서가 중요하다는 관점에서, 이것은 항등 행렬과 같음을 알 수 있어요. 이것은 항등행렬 곱하기 열 벡터 x이고 이것은 이것과 같은 것이에요. 이것과 같을 것이에요. 이를 복사 붙여넣기 해봐요. 이것과 같을 거에요. 이것이 왜 흥미로울까요? 항등 행렬 곱하기 다른 행렬을 하면 열 벡터는 실제로 2 곱하기 1 행렬이고, 이는 다시 열 벡터가 될 것이에요. 열 벡터를 다시 간단히 하면 이는 이 열 벡터는 역행렬 곱하기 우리의 열 벡터, 아니면 열 벡터 x는 역행렬 곱하기 열 벡터 b라 할 수 있어요. 다시 한번 이것이 왜 중요한지 강조하자면 네, 이 모든 것을 A의 역행렬을 구하기 위해 다 해야 되죠. 그런데 이것을 하고 나서는 각각 다른 b를 바꿔넣을 수 있으며 이것은 7, -6이지만 다른 b로도 할 수 있어요. 그리고 컴퓨터 프로그램을 운영할때 이를 다시 하고 싶을 것이고 여러 개의 행렬 곱을 해야 할 것이에요. 여기에다가 냅둘 거에요. 거의 10분이 다 되가는것을 깨닫고 저는 이 시간 넘기기 싫어요. 다음 비디오에서 우리는 역행렬 A가 무엇인지 그리고 답인 벡터 X를 구해보도록 하죠.