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주요 내용
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행렬의 곱셈은 가환성을 가질까요?

동영상 대본

우리는 스칼라의 곱셈에서 교환법칙이 성립한다는 것을 알고 있습니다. 예를 들어서, 5x7 는 7x5 와 같습니다. 그리고 이 것은 하나의 상황일 뿐입니다. 다른 상황을 우리는 더 많이 만들어 낼 수 있습니다. 3x(-11) 은 (-11)x3 과 같습니다. 교환법칙의 핵심은 곱셈의 순서는 상관이 없다는 것 입니다. 이게 (-11) x 3 과 같다는 것 처럼 말입니다. 일반적으로 말하자면, a 라는 값에 b 라는 값을 곱하면 이것은 b에 a를 곱하는 것과 같습니다. 이 영상에서 설명하려는 것은 교환법칙이, 값들의 곱셈에서의 교환법칙이, 행렬에서의 곱셈에서도 성립한다는 것입니다. 2개의 행렬이 있다면, 예를 들어서 A라는 행렬과 B라는 행렬이 있다고 가정하면 이 둘을 곱한 값이 순서를 바꾼 BA의 값과 항상 같은지 알아볼 것 입니다. '항상' 성립하는지 알아보는 것이 중요합니다. 행렬에서 교환법칙이 성립한다고 말하려면 가끔이 아니라 '항상' 참이 될 것인지를 알아보는 것이 중요합니다. 이 영상을 멈추고 잠깐 생각해 보기를 바랍니다. 몇 가지를 가정해 봅시다. 먼저, 다양한 차원에서의 행렬을 생각해 봅시다. 5x2 인 행렬 A가 있다고 합시다. 2x3인 행렬 B가 있다고 합시다. 그러면 행렬 AB는 몇 차원이 될까요? 우리가 이 둘을 곱하면 세번째 행렬이 나올텐데요, 이것을 C라고 합시다. 행렬C의 차원을 구하기 위해 그렇게 부르겠습니다. 우리는 먼저, 이 곱셈이 행렬 곱셈의 법칙에 의해 규정된 다는 것을 압니다. 행렬 A의 열의 수는 행렬 B의 행의 수와 같기 때문입니다. 행렬C의 행과 열은 A의 행과 B의 열이 됩니다. 행렬 C는 5x3 행렬입니다. 그러면 순서를 바꾼 경우는 어떨까요? BA 는 어떻게 될까요? 다시 한 번 영상을 멈추세요. 만약에 B를 A에 곱한다면, 우리는 단순히 곱셈의 순서만 바꾸는 것 입니다. 이 곱셈을 한다면 어떤 값과 같을까요? 여기 이 값이 어떤 값과 같아질까요? 먼저 생기는 의문은 이 두 행렬의 곱셈이 정의될 수 있는가입니다. 행렬 B의 열의 수와 행렬 A의 행의 수를 비교하면 행렬의 곱이 정의될 수 없습니다. 행렬 B의 열의 수와 행렬 A의 행의 수가 다르기 때문입니다. 곱셈이 정의되지 않습니다. 이 것은 AB = BA 가 항상 성립하지는 않는다는 것의 증거입니다. AB의 곱은 정의가 되며, 5x3 행렬이 도출되는데, BA의 곱은 정의조차 되지 않습니다. 행렬에서의 곱셈법칙이 항상 성립하지는 않는다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 행렬의 곱에서는 순서가 중요합니다. 여러분이 '이 경우만 행렬의 곱이 정의되지 않는게 아닌가', '정사각행렬이나 혹은 다른 방법에 의해서 두 가지의 곱이 모두 정의 되는 경우에는 성립하지 않을까' 라고 생각할 수도 있기 때문에 구체화 시켜서 다른 경우들을 알아보고자 합니다. 2x2 행렬을 관찰해 순서의 중요성을 관찰합시다. 다음과 같은 행렬이 있습니다. 이 행렬에 다음과 같은 행렬을 곱하려고 합니다. 이 곱셈에서 결과는 어떻게 될까요? 다시 한 번 영상을 멈추고 생각하세요. 여기 첫 번째 성분은 이 행과 이 열을 봤을 때 1x(-2) 더하기 2x0인 -2가 됩니다. 이제 이 성분의 값을 구하기 위해 이 행과 이 열을 보면 1x0 = 0 과 2x(-3) = -6 을 더해서 -6이 됨을 알 수 있습니다. 그리고 이 성분의 값을 구하기 위해 이 행과 이 열에서는 (-3) x (-2) 는 +6이고 (-4)x0 는 0 이기 때문에 합쳐서 6이 됩니다. 이 성분의 값을 구하기 위해 2번째 행과 2번째 열을 보면 (-3) x 0 은 0 이고, (-4) x (-3) 은 +12 이기 때문에 12가 됩니다. 만약에 순서를 바꿔서 했다면 어떻게 됐을까요? 만약에 행렬 -2, 0, 0, 3 을 먼저 놓고 여기에 행렬 1, 2, -3, -4 를 곱한다면 이 값은 어떻게 될까요? 영상을 멈추고 스스로 계산을 해 보기 바랍니다. 이제 같이 해 봅시다. (-2) x 1=-2 에다가 0x(-3)=0 을 더하면 -2가 됩니다. 지금까지는 위의 결과와 같네요. (-2)x2 = -4와 0x(-4) = 0 을 더하면 -4 가 됩니다. 벌써 위의 결과와 다르다는 것을 알 수 있습니다. 남은 계산을 마저 해 봅시다. 이 성분을 구하려면 두번째 행과 첫번째 열을 봐야하므로 0x1 = 0 와 (-3)x(-3) = 9 를 더한 9가 되며 위의 결과에서 나온 행렬과 다릅니다. 마지막으로 0x2 = 0 와 (-3)x(-4)=12 를 더하면 12 입니다. 마지막 성분은 위의 행렬과 같습니다. 하지만 이 두 곱셈은 다른 결과가 나옵니다. 정의가 되는 행렬일지라도 결과는 같지 않다는 것을 알 수 있습니다. 행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하지 않는다는 것을 보여주는 또 다른 예가 되겠습니다.