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주요 내용
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행렬의 곱셈의 결합법칙

동영상 대본

이 영상에서 제가 하려는 것은 행렬 곱셈이 결합인 것을 보여주는 것입니다. 저는 적어도 2x2 행렬로는 그 것을 보여줄 것이고, 제가 이 영상에서 하는 것을 당신은 행렬 곱셈이 정의되는 어떤 행렬의 관점으로 확장시킬 수 있습니다. 자, 3개의 행렬을 봅시다. 첫번째 행렬에는 a,b,c 그리고 d가 있다고 하고, 두번째 행렬에는 e, f, g, h. 그리고 마지막으로 여기 세번째 행렬에는 i, j 이 것은 허수 단위 i 가 아니라, 그냥 문자 i 입니다. 이 것은 e가 아니고 그냥 문자 e 입니다. j, k 그리고 l 이 있습니다. 저는 두 가지의 시나리오를 보고 싶습니다. 그래서 이 것을 복사 붙여넣기를 하겠습니다. 저는 먼저 이 시나리오를 보겠습니다. 첫번째로, 저는 주황색 행렬과 노란색 행렬을 곱하겠습니다. 그리고 그 것을 보라색 행렬과 곱하겠습니다. 그리고 다른 시나리오는 제가 먼저 노란색과 보라색 행렬을 곱한 다음 그 것을 주황색 행렬과 곱하는 것입니다. 그리고 무엇을 먼저 곱하는 지를 바탕을 둔 이 두 결과물이 같다면, 저는 적어도 3개의 2개씩의 행렬의 곱셈이 결합적이라는것을 증명한 것입니다. 저희가 이 것이 가환성이 아니라는 것을 이미 봤다면, 이제는 이 것이 결합적인지 봅시다. 제가 핵심을 알려 드리겠습니다, 결합적입니다. 그래도 한 번 해 봅시다. 저는 여러분이 이 영상을 직접 멈추고 스스로 이 문자들을 계산해보고 제가 말한 결과가 나오는 지 보는 것을 권장합니다. 자, 그러면 이 둘을 곱해 봅시다. 그래서 이 결과물은, 저는 이 것을 약간 크게 만들 것입니다. 그 것은 AE + BG, 그리고 AF + BH 가 될 것이고, 그리고 그 것은 CE + DG가 되고 마지막으로 CF + DH가 될 겁니다. 그러고나서 저희는 이 것을 I, J, K, L 행렬과 곱할 것입니다. 과연 무엇이 나올까요? 저는 저희가 이 것을 할 공간을 조금 마련할 것입니다. 제 자신에게 충분한 양의 공간을 마련하고, 그래서 이 것은 이 것 곱하기 I, I로 분배합시다. IAE + IBG + 이 것 곱하기 K, + KAF + KBH. 저는 이미 여기서 공간이 부족하네요. 이 것을 지우고, 계속 합시다. 그리고 저희는 바로 이 것을 곱할 것입니다. 저희는 이 열과 이 행을 고려할 것입니다. 첫 열, 두번째 행. 그래서 여러분은 JAE + JBG + LAF + LBH을 갖게 될 것입니다. 이 행렬들은 제가 생각했던 것 보다 크네요. 그러고나서 여러분은 여기서 이것 곱하기 이것 더하기 이것 곱하기 이것을 갖게 될 것입니다. 그러므로 ICE + IDG + KCF + KDH 그리고 마지막으로, 이것 곱하기 이것 더하기 이것 곱하기 이것, 아니면 이것 곱하기 저것 더하기 이것 곱하기 저것. 그래서 JCE + JDG +LCF +LDH입니다. 이제는 이것의 곱셈을 해나갈 수 있을지 봅시다. 그래서 이 것의 결과물은 뭐가 될까요? 이 결과물, 제가 이 둘을 먼저 곱한다면, EI + FK + EJ 아, 아니 더하기가 아니라 여기는 다음 항목이죠, EJ + FL, 그리고 GI + HK, 마지막으로, 저희는 GJ + HL을 갖게됩니다. 그리고 이 모두는 ABCD로 곱해질 것입니다. A, B, C, 그리고 D, 그리고 저는 이 것을 하기 위해선 제대로 된 공간이 필요하겠는데요. 저는 여기 아래 쪽에 초록색으로 하겠습니다. 여기 조그마한 화살표로, 아 사실 제가 그냥 살짝 옆으로 당기면, 이게 더 좋을 것 같네요. 과연 무엇이 나올까요, A 곱하기 이것 더하기 B 곱하기 이것, AEI + AFK + BGI +BHK, 그러고나서 여러분은 이 열과 이 행을 할 것입니다. 그래서 그것은 AEF + AFL + BGJ +BHL이 되고, 괄호를 닫고, 이제 여러분은 C 곱하기 이것 더하기 D 곱하기 이것을 하게 될 것입니다. CEI + CFK + DGI +DHK 그리고 마지막으로, 최종 단계, C 곱하기 저것 더하기 D 곱하기 이것입니다. CEJ + CFL, 그리고 + DGJ +DHL을 갖게 될 것입니다. 그래서 이 둘은 같나요? 항목씩 봅시다. 스칼라 곱은 가환성인 것을 알기에 IAE 는 AEI와 같고, IBJ와 IBJ, 여기와 여기에서 볼 수 있습니다, KAF, 여기에 있고 이 것은 AFK와 같은 것입니다. 여러분은 항목마다 할 수 있습니다. 그냥 이렇게 합시다, 제가 빨리 하겠습니다, ICE는 CEI와 같은 것이고, IDG는 DGI와 같은 것이고, KCF는 CFK와 같은 것이고, KDH는 DHK와 같은 것이고, 두번째 행으로 가보면, JAE와 AEJ, JBG는 BGJ와 같은 것이고, LAF는 AFL과 같은 것이고, LBH는 BHL과 같은 것입니다. 그리고 마지막으로, JCE는 CEJ와 같은 것이고, JDG는 DGJ와 같은 것이고, LEF..LEF...LCF인가요? 봅시다. LDH가 바로 여기 있으니 이것은 LCF가 돼야합니다. CFL과 같고, 여기 이것은 LCF인가요, 정확히 해보겠습니다. 이것은 전체 작업의 큰 장애물이 될 것이니까요, 그래서 여기 이 항목은 두번째 열과 두번째 행을 곱한 것으로부터 나오니, JCE + JDG, 그리고 LCF + LDH를 갖게 됩니다. 그래서 이 두 식은 같다는 것을 알게 될 것입니다. 제가 첫번째 둘을 먼저 곱하고 세번째를 곱하든, 두번째와 세번째를 먼저 곱하고 첫번째를 곱하든과는 상관없이. 그래서 다시 한번, 이 것은 결합 법칙입니다. 저는 근본적으로 이들을 같은 순서로 놓고 있습니다. 순서는 상관있지만, 보다시피, 이들을 결합할 수 있습니다. 처음 둘을 먼저하거나, 두번째 둘을 먼저할 수 있습니다.