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행렬이 무엇인지 알았으니, 행렬에서 연산을 정의할 수 있는지 알아봅시다. 2x3 행렬이 있다고 해요. 2행과 3열 그리고 성분들은 7,5,-10,3,8, 0이죠. 이 전체에 3을 곱하면 어떤 일이 일어나는지 볼까요? 먼저, 수학용어들은 제외할게요. 행렬이나 벡터(지금은 몰라도 돼요)가 아닐 때 3은, . 실수인, 그저 평범한 숫자라 할 수 있죠. 그러나 이렇게 구조화된 행렬들이 있는 세계에서, 우리는 이 실수들을 그냥 숫자가 아닌 '스칼라'라고 불러요. 중요한 것은, 우리가 정의하고 있는 것이 나올지는 모르지만 나오게되면, 스칼라의 곱, 즉 스칼라와 행렬의 곱으로 나올 거에요. 그럼 이것을 어떻게 정의할까요? 3과 이 행렬의 곱은 무엇이 되어야 할까요? 이 세계는 스칼라 곱을 나름대로 정의했어요. 그러나 우리가 찾은 가장 확실하고 실용적인 방법은 스칼라를 각 성분들에 곱하는 거에요. 그러면 맨 위 왼쪽에서부터 3x7, 3x5, 3x(-10), 3x3, 3x8, 3x0이 되고, (행렬의 차원이나 구조를 바꾸지는 않았고 그저 행렬의 각 성분을 3에 곱했어요.) 맨 위 왼쪽 성분은 21,가운데 행의 맨 위 열은15, 다음은, -30, 9, 24, 그리고 0이 되겠죠. 이렇게 행렬에 스칼라를 곱할때는, 각 성분들에 그 스칼라값을 곱하면 됩니다.