행렬의 덧셈과 뺄셈

우리가 행렬 덧셈을 어떻게 정의할 수 있는지 생각해 봅시다. 수학자들은 덧셈을 정의하기 위해 수 많은 방식들을 선택할 수 있어요. 하지만 그들은 덧셈을 정의하기 위해 한가지 방법을 결정했어요. 그리고 이건 또 우리가 나중에 행렬을 가지고 흥미진진한 일을 할 수 있게 하는 성질도 갖고 있어요. 그래서 당신이 만약 행렬을 어떻게 더해야 할지 정의해야 하는 수학자 중 한명이었다면, 이 첫번째 행렬을 이 둘째 행렬에 더하는 것을 어떻게 정의한 것인가요? 글쎄요, 가장 일반적으로 머릿속에서 떠올랐을 생각은 -- 특히 이 두 행렬들은 같은 차수를 지녔으니까요 -- 이건 2행 3열 행렬이에요, 2개의 행과 3개의 열이 있지요. 이것 또한 2행3열 행렬이에요, 이것 또한 2행이 있고 3열이 있죠.-- 그냥 상응하는 성분끼리 더하는 거죠. 그리고 이게 만약 의도였다면, 그럼 주류 수학과 같은 의도를 가지고 있어요. 행렬의 덧셈은 글자 그대로 대응하는 성분을 더하는 것이라는 걸요. 그래서 이 상황에서는, 우리는 1 + 5를 해서 이 덧셈에서 대응하는 성분을 구하는데, 6이죠 -7 + 0 을 더해서 -7을 가질 수가 있고요. 5 + 3을 해서 8을 얻을 수가 있어요. 여기서 더할 수가 있는데 --이제 색깔이 모자르기 시작하네요-- 0 + 11을 해서 11을 얻을 수가 있어요. 3 + -1을 해서 2를 얻을 수 있어요. 그리고 더할 수 있는데 -- 더할 수 있는데 -10 + 7을 해서 -3을 얻을 수 있죠. 그리고 행렬의 덧셈의 정의를 보면 어떤 순서로 덧셈을 하든 상관이 없다는 것을 알 수가 있어요. 이것을 반대로 했을 수도 있었는데, 이것 반대로 했다면 --그래서 이건 복사 붙여넣기 하죠- 그래서 만약 제가 이 행렬을 --또 다시 복사 붙여넣기-- 이 행렬을 제가 --이 다른 걸 복사 붙여넣기하죠-- 이 행렬, 복사 붙여넣기, 그러면 제가 더하는 순서가 상관이 없다는 것을 알게 돼요. 그래서 그냥 숫자 더하는 거랑 같아요. A + B는 B + A랑 같죠. 이제 우리가 볼 것은 우리가 공부할 모든 행렬의 연산에 맞지 않고 그리고 특히 이것은 곱셈에서 맞지 않다는 거에요. 하지만 이 두가지를 더하면, 우리가 방금 알아낸 정의를 가지고 하면, 대응하는 성분을 더하면, 정확히 같은 결과가 나오게 되죠. 여기서 우리는 1 + 5을 하고 여기서 6 + 1를 해서 6을 얻죠. 결과가 같아요. 왜냐하면 1 + 5는 5 + 1과 같기 때문이에요 여기서 우리는 0 + (-7)이 있는데요 그럼 -7을 얻게 되죠. 그래서 정확히 같은 것을 여기서 얻을 거에요. 그러니까 행렬끼리 더할 때, 만약 -- 이 행렬을 A행렬이라고 하고 우리가 주로 대문자로 구분하는, 그리고 여기 있는 것을 B 행렬이라고 하면 그러면 A + B는 바로 여기 이거에요. 그리고 우리는 이게 같다는 것을 알 수 있는데, B + A를 한 것과 같다는 것을요. 그럼 흥미로운 질문을 해보도록 할게요. 만약 행렬의 뺄셈을 하고 싶다면? 그럼 다시 한번 동일한 차수를 갖고 있는 행렬에 대해서 생각해 봅시다. 그럼 2차 정사각행렬로 한다고 생각해 봅시다. 그럼 여기가 0, 1, 3, 2라고 하고 그리고 빼고 싶은 것은 -1, 3, 0, 그리고 5 그럼 사람들은 대응하는 성분끼리 빼자고 하겠죠. 그리고 그게 행렬의 덧셈, 뺄셈을 정의할 수 있는 방법이에요. 사실 정의할 필요도 없는데, 그냥 이걸 우리가 스칼라에서 했던 곱셈과 행렬의 덧셈에서 빠져나왔다고 생각하면 돼요. 우리는 똑같다고 볼 수 있는데 --이걸 같은 거라고 볼 수 있는데-- 0, 1, 3, 2를 가지고 -1번 -1, -3, 0, -5를 -1번 더하는 거라고 생각하면 돼요. 그리고 계산을 해보면 대응하는 성분을 뺀 것과 동일한 값이 나와요. 그래서 결국 이건 --이게 뭐가 되죠? 0 - (-1)은 1이죠 1 - 3은 -2. 3 - 0 은 3. 2 - 5 은 -3 그리고 보면 여기서 똑같은 게 나오는 걸 볼 수 있어요. -1 곱하기 -1을 하면 1을 얻고, 1 + 0 = 1 -1 곱하기 3 + 1 = -2 좋아요. 지금 머릿속에서 맴도는 질문이 있을 것 같네요. " 좋아요, Sal, 행렬을 더하거 뺄때 특히 그게 같은 차수일 때는 대응하는 성분을 더하거나 빼는 건 이해했어요. 하지만 만약 차수가 다른 행렬이 있을 때는 어떻게 하죠?" 그래서 예를 들어, 이 시나리오에서 행렬을 더하고 싶은데 1, 0, 3, 5, 0, 1을 --그래서 이건 3행 2열 행렬이에요- 그리고 이걸, 예를 들어, 2행 2열 행렬에 더한다고 해봅시다. 5, 7, 1-, 0. 이걸 뭐라고 정의 할까요? 글쎄 수학에서는 이걸 정의내리지 않았네요. 이건 정의되지 않았어요. 이건 정의되지 않았어요. 그래서 우리는 뺄셈, 또는 덧셈을 행과 열이 다르면 인정하지 않아요. 이걸 하는데 합리적인 방법이 없는 듯 하여, 그것도 실제적으로 도움이 되고 논리적으로 성립되는게 없어요.