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주요 내용
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중심이 원점이 아닌 쌍곡선의 방정식

동영상 대본

이번 영상에서는 쌍곡선을 그래프에 그려보는 문제를 조금 더 풀어보고자 합니다 쌍곡선을 한 개 그려보겠습니다 쌍곡선의 식은 {(x - 1)² ÷ 16} - {(y + 1)² ÷ 4} = 1입니다 쌍곡선의 식은 {(x - 1)² ÷ 16} - {(y + 1)² ÷ 4} = 1입니다 저번 영상에서 배웠듯이 방정식을 보았을 때 처음으로 알아보아야 할 것은 어떤 방식의 원뿔 곡선인지 알아야 하고 두 번째는 직접 그래프에 그려보는 것입니다 두 번째는 직접 그래프에 그려보는 것입니다 영상 처음에 쌍곡선에 대한 문제를 풀어보겠다고 했으니 풀어보겠습니다 여기서 알아야 할 점은 y²의 계수가 음수입니다 이것을 옮겨봅시다 먼저 원점을 중점으로 둔 표준형 쌍곡선을 그려 보겠습니다 점근선도 원점을 기준으로 있을 것입니다 식은 (x² ÷ 16) - (y ÷ 4) = 1일 것입니다 식은 (x² ÷ 16) - (y ÷ 4) = 1일 것입니다 기존 식과 새로운 식의 다른 점은 중심점의 좌표입니다, 기존 식의 좌표는 (1, -1)입니다 다르게 생각해보면 x가 1일 때 모든 값을 0으로 만들기 때문에 중심점입니다 y 역시 같은 이유로 -1이 중심점의 좌표가 된 것입니다 이 식은 중점의 원점이기 때문에 중점의 좌표가 (0, 0)입니다 이 쌍곡선을 그래프에 그리는 방법 중 쉬운 방법은 원점이 중심점인 것보다 기존의 식을 이용하는 것입니다 원점이 중심점인 것보다 기존의 식을 이용하는 것입니다 이 식을 이용하겠습니다 두 개의 점근선의 기울기를 구하고 우리는 이 쌍곡선에 적합하기 위해 두 개의 기울기를 옮길 수 있습니다 만약 이 선으로 간다면, 이 것을 해결해보겠습니다 제가 쌍곡선을 그릴 때 항상 하는 것입니다 제가 쌍곡선을 그릴 때 항상 하는 것입니다 우리는 -y²/4를 얻습니다 x²/16를 양 변에 빼면 x²/16+1이 됩니다 저는 이 쌍곡선이 아닌 이 쌍곡선을 지금작업하고 저는 후에 옮기겠습니다 그 후에 양 변을 -4로 곱하면 y²은 -를 없애고 4/16이 x²/4-4이고 y는 +또는- 루트x^2/4-4입니다 y는 +또는- 루트x^2/4-4입니다 x가 양또는 음으로 무한하게 다가갈 때 무엇이 발생하는지에 대해 생각해야하는 점근선을 계산합니다 x가 정말로 양 또는 음으로 갈 때 우리는 이미 여러 번 해왔습니다 저는 이게 주요하다 생각합니다 이것은 그 형식을 기억하는 것보다 더 중요합니다 실제로 점근선의 방정식이 오는 곳의 직관을 주기때문입니다 이것들은 이 그래프 또는 이 방정식 또는 이 함수가 x가 양 또는 음으로 무한하게 다가갈 때 다가가는 것이기 때문입니다 x가 양 또는 음으로 무한하게 다가가기때문에 이경우에 y는 대략 무엇과 같아질까요 다시 봐보면 이 항은 중요한 특징이 될 수 있습니다 이것이 바로 4인데 x가 엄청난 수이거나 음의 엄청나 수일 때 이것이 거대한 숫자가 되고 이것은 떨어진 곳처럼 보인다는 것을 알 것입니다 이 식의 제곱근을 구하고 이것이 중요한 특징이 될 것입니다 ± 으로 무한히 갈 때 y는 대략 x²/4의 ± 제곱근과 같습니다 y는 대략 x²/4의 ± 제곱근과 같습니다 y는 대략 ± x/2또는 1/2x가 됩니다 그럼 해봅시다 점근선을 그려봅시다 이 상황에서 점근선입니다 하지만 지금 물론 우리는 (1,-1)에 중심해 있습니다 저는 양의 1/2와 음의 1/2의 기울기 함께 두 개의 선을 그릴 것이지만 이 점에 중심할 것입니다 저는 그저 변화를 없애서 점근선을 계산할 수 있고 물론 그래프를 그릴 수 있으니 해봅시다 y축과 x축 그리고 중심의 점(1,-1)이 있습니다 x는 1이고 y는 -1입니다 그 후 점근선의 기울기는 양과 음의 1/2입니다 1/2를 그려봅시다 모든 2가 넘치고 만약 양의 x방향으로 2만큼 간다면 1을 올릴 수 있습니다 오른쪽으로 2만큼 가고 1만큼 올립니다 그래서 이게 첫번째입니다 점근선을 그려봅시다 생각했던 것처럼 보이고 이 점에서 저 점까지 그립니다 손이 안정적이어야 합니다 그 다른 점근선은 -1/2의 기울기가 됩니다 중심은 (1,-1)인 것을 기억하고 만약 1이나 더 내려간다면 2만큼 넘어갈 때 1만큼 내려가서 올바를 것입니다 점근선을 그려줍니다 선을 겹치게 하고 싶은 다른 방향에서 계속합니다 이것과 같은 모습이 보일 것입니다 이 함수의 점근선을 그리고 지금 우리가 수직의 쌍곡선 또는 수평의 쌍곡선을 계산합니다 이걸 생각하는 쉬운 방법은 시도하고 만드는 것입니다 2개의 방법으로 할 수 있습니다 저는 만약 이 방정식으로 보는 것을 말합니다 양의 제곱근을 봤을 때 항상 약간 점근선의 아래에 있습니다 점근선은 이것이지만 항상 점근선 아래에 있습니다 양의 제곱근에서 점근선 아래에 있다는 것을 말하고 음의 제곱근 위에 있습니다 더 적고 음수이기 때문입니다 하지만 생각해봅시다 제 직감은 여기와 여기에 있을 수 있다는 것입니다 이건 직감 그 이상입니다 음의 제곱근보다 덜 있지만 다른 방법을 할 것입니다 저는 지난 영상에서 했던 방법을 할 것입니다 다른 방법은 항이 0일 때 어떨까요 이항이 0이 되기 위해 x는 0이어야합니다 어떻게 될까요 x가 1이 될 수 있을까요 만약 x가 1이라면 이 항은 0이 됩니다 이 상황에서 그리고 -y²/4가 1이 되거나 음수가 되야합니다 -y²/4가 1이 되거나 음수가 되야합니다 x는 1과 같지 않습니다 y는 -1이 되야합니다 시도해봅시다 만약 y가 -1이라면, 여기 있는 항은 사라집니다 만약 y가 -1이라면, 여기 있는 항은 사라집니다 만약 y가 -1이라면, 여기 있는 항은 사라집니다 만약 y가 -1이라면, (x - 1)² ÷ 16 = 1만 가지고 계산을 하면 됩니다 이 식을 지우면 어떤 일이 발생하는 지 봅시다 이 식을 지우면 어떤 일이 발생하는 지 봅시다 양변에 16을 곱하겠습니다 양변에 16을 곱하겠습니다 그렇다면 식이 쉬워집니다, (x - 1)² = 16이 됩니다 양변에 제곱근을 넣겠습니다 x - 1 = ±4가 됩니다 만약 x - 1 = 4라면 x는 5입니다 만약 x - 1 = 4라면 x는 5입니다 만약 -4라면 x는 -3입니다 만약 -4라면 x는 -3입니다 그래서 원점에서 가장 근접한 지점의 좌표는 (5, -1)과 (3, -1)입니다 그래프에서 지점을 찾아봅시다 그래서, 1, 2, 3, 4, (5, -1)과 (3, -1)입니다 확인해 보겠습니다 3이 아니라 -3입니다, 잘못 썼습니다 급하게 넘기다 보니 실수를 했습니다 급하게 넘기다 보니 실수를 했습니다 만약 식의 값이 -4라면 x는 -3입니다 만약 식의 값이 -4라면 x는 -3입니다 만약 식의 값이 -4라면 x는 -3입니다 -3, -1을 얻게 되었습니다 그래서 이 두 지점의 쌍곡선의 지점입니다 우리의 직감이 맞아 떨어졌습니다 이 값은 언제나 점근선보다 약간 적은 값일 것입니다 쌍곡선을 그릴 수 있게 되었습니다 이렇게 생겼을 것입니다 점점 근접하고 근접하다가 아래 방향에서도 같이 근접할 것입니다 점근선에 계속 근접합니다 두 방면에서 계속 근접할 것입니다 두 방면에서 계속 근접할 것입니다 물론 이 점근선은 무한히 뻗어 나갑니다 물론 이 점근선은 무한히 뻗어 나갑니다 다른 지점을 구해보고 싶다면 증명해 보시기 바랍니다 여기를 알고 싶거나 이곳을 알고 싶다면 사실임을 증명하면 됩니다 어려운 점은 점근선을 정의하는 것과 위아래로 열려 있거나 좌우로 열린 것인지 따져보는 것입니다 이제 여러분은 쌍곡선을 그래프에 그릴 수 있습니다 성공했습니다 다음 영상에서 뵙겠습니다