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수많은 IIT JEE 문제들을 풀어본 결과 수많은 IIT JEE 문제들을 풀어본 결과 여러분이 알길 바라는 것들이 문제로 출제된다는 것을 알았습니다 따라서 이 강의에서 다룰 것은 이런 것들 중에 하나입니다 이번에 다룰 것은 집중적으로 알아볼 예정인 특정한 쌍곡선인 원뿔 곡선과 접선 사이의 관계입니다 이는 지난 문제에서 다루었습니다 하지만 일반적인 경우는 아니었죠 왼쪽, 오른쪽으로 열린 쌍곡선이 있다고 합시다 방정식은 다음과 같습니다 x²/a² - y²/b² = 1 방정식은 다음과 같습니다 x²/a² - y²/b² = 1 쌍곡선을 그려보면 이런 모습일 것입니다 이는 x축이고 이는 y축입니다 오른쪽으로 열려 있습니다 아래 부분을 더 예쁘게 그릴게요 오른쪽으로 열려 있습니다 왼쪽으로도 열려 있습니다 이 점이 무엇인지 궁금하죠? y = 0 일 때 이 점은 (a, 0)이 됩니다 그리고 이 점은 (-a, 0) 입니다 여기서 풀어보고 싶은 것은 이 a와 b와 접선의 방정식 사이의 관계입니다 이렇게 생긴 접선이 있다고 가정합시다 이렇게 생긴 접선이 있다고 가정합시다 접선이 이 점만 지난다고 합시다 이런 모습이 되겠죠 이런 모습이 되겠죠 이 접선의 방정식은 y = mx m은 기울기입니다 y절편으로 b 대신 다른 수를 사용합시다 보통 y절편으로 b를 사용하지만 이미 쌍곡선 방정식에 b를 사용했기 때문에 c를 사용하죠 논란의 여지가 없죠? 이는 y절편입니다 m, c, a, b 사이의 관계에 대하여 무언가를 떠올려 봅시다 IIT 문제 중에서 이미 사용하였습니다 다음 번에도 아마도 이것을 이용할 것입니다 수많은 칸아카데미 강의들을 들으셨다면 제가 항상 첫 번째 원리를 통해 증명한다는 것을 알고 있을 것입니다 단순히 공식을 암기하고만 있으면 안됩니다 어떤 원리에서 나왔는지 모를 것입니다 잘못 암기한 것이죠 실제로 무엇을 의미하는지 이해하지 못한 것입니다 하지만 여러분이 IIT JEE 시험을 보러 간다면 문제들을 푸는데 얼마나 시간이 부족한지 잘 알고 있기 때문에 첫 번째 원리로부터 증명해야 한다면 증명하지 못할 것입니다 이 관계를 살펴봅시다 그림을 그리지 않으면 이야기를 할 수 없겠네요 교점이 어디있는지 봅시다 여기서 핵심은 교점이 하나라는 것입니다 y²에 대해서 풀어봅시다 양변을 b²으로 곱합니다 양변을 -b²으로 곱합니다 -b²x²/a² + y² = -b² -b²x²/a² + y² = -b² -b²x²/a² + y² = -b² 그 다음 이 항을 양변에 더합니다 y² = b²x²/a² - b² y² = b²x²/a² - b² 쌍곡선 방정식을 다시 나타냈습니다 이 식도 y²에 대하여 나타냅시다 그 다음 두 식을 같다고 두면 되겠죠 노란색 식에서 양변을 제곱하면 y² = m²x² + 2mcx + c² y² = m²x² + 2mcx + c² y² = m²x² + 2mcx + c² 따라서 교점이 만들어지려면 x와 y의 값이 동일해야 합니다 따라서 두 y²을 동일하다고 두고 x에 대해서 풀면 됩니다 명백하게 x에 대해서 풀 수는 없습니다 변수가 너무 많기 때문이죠 a, b, m, c 사이의 관계를 구합니다 교점이 하나밖에 없으므로 정의에 따라 그 점은 접점이 될 것입니다 한번 해봅시다 m²x² + 2mcx + c² = b²x²/a² - b² m²x² + 2mcx + c² = b²x²/a² - b² m²x² + 2mcx + c² = b²x²/a² - b² 이 문제와 아주 비슷한 문제를 이전 IIT JEE 강의에서 다루었습니다 하지만 여기에서는 일반적인 경우에 초점을 두고자 합니다 도구로써 사용하기 위해서죠 x에 대한 이차방정식으로 나타내 봅시다 이 식을 양변에서 뺀다면 (m² - b²/a²)x² (m² - b²/a²)x² (m² - b²/a²)x² 이 항과 이 항입니다 x의 일차항은 이것밖에 없네요 x의 일차항은 이것밖에 없네요 (m² - b²/a²)x² + 2mcx 마지막으로 c²과 b²이 있습니다 b²이 있습니다 (m² - b²/a²)x² + 2mcx + c² + b² = 0 (m² - b²/a²)x² + 2mcx + c² + b² = 0 (m² - b²/a²)x² + 2mcx + c² + b² = 0 (m² - b²/a²)x² + 2mcx + c² + b² = 0 이 방정식의 해가 하나만 존재해야 합니다 여기서 판별식이 필요합니다 이차방정식의 판별식은 완전히 다르다는 것을 기억하세요 [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a [ -b ± √(b² - 4ac) ] / 2a 이 판별식이 0이 된다면 해가 하나만 존재하게 됩니다 b² - 4ac = 0 이라면 해는 -b/2a 만 존재하겠죠 그러므로 이 상황에서 접선은 이 방정식을 만족하는 x는 하나밖에 없습니다 따라서 이차식에서 b² - 4ac = 0 이 됩니다 판별식의 b, a, c는 여기서 사용한 수와 다른 수입니다 판별식의 b는 x항의 계수입니다 판별식의 b는 x항의 계수입니다 따라서 4m²c² 여기서 다음 항을 뺍니다 판별식의 a는 x²항의 계수입니다 간단하게 만들기 위해서 이를 +로 만들고 이 식에 -1을 곱합니다 부호를 반대로 바꿉니다 +4 그대로 적는 대신에 -1을 곱했으므로 4m²c² + 4(b²/a² - m²) 판별식의 c는 상수항입니다 즉, 4ac 입니다 4m²c² + 4(b²/a² - m²)(c² + b²) 접선의 방정식의 해가 하나밖에 없다면 이 식이 0이 되는 것입니다 간단하게 만들기 위해서 우선 양변을 4로 나눕니다 4로 나누면 검은색으로 하죠 4가 사라지고 1이 됩니다 더 보기 좋아졌네요 두 번째 항을 전개해 봅시다 b²/a²과 c²을 곱하면 b²c²/a² 입니다 b²/a²과 b²을 곱하면 b⁴/a² 입니다 b²c²/a² + b⁴/a² 다음으로 -m²과 c²을 곱합니다 다른 색으로 해보죠 b²c²/a² + b⁴/a² - m²c² b²c²/a² + b⁴/a² - m²c² -m²과 b²을 곱합니다 b²c²/a² + b⁴/a² - m²c² - m²b² 물론 이 값은 0이 됩니다 m²c²까지 더해줍니다 m²c² + b²c²/a² + b⁴/a² - m²c² - m²b² = 0 운이 좋게도 두 항은 상쇄됩니다 좌변에 무엇이 남나요? 모든 항은 b²으로 나누어지므로 모든 항을 b²으로 나눕시다 이는 1이 되고 이는 b²이 되고 이는 1이 됩니다 그 다음 모든 항에 a²을 곱합니다 분수를 없애기 위해서죠 모든 항에 a²을 곱하면 이 항은 c²이 되고 이 항은 b²이 되며 -m²이 남았으므로 -m²이 남았으므로 a²을 곱해줍니다 따라서 c² + b² - a²m² = 0 이 됩니다 혹은 이 항을 양변에 더하면 c² + b² = a²m² 이 됩니다 c² + b² = a²m² 이 됩니다 깔끔하지 않나요? 아주 간단한 관계식이 나왔습니다 접선의 방정식을 알고 있다면 접선의 방정식을 알고 있다면 m과 c의 값을 안다면 a와 b에 대한 흥미로운 관계를 알게 됩니다 a와 b가 무엇인지 안다면 직선의 방정식에 대한 재밌는 관계가 만들어집니다 다른 조건들이 더 있다면 이를 풀 수 있을 것입니다 하지만 다음에 풀어볼 IIT 문제에서 이 식을 사용해 봅시다