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[문제] 방정식이 x² + y² - 8x = 0인 원과 방정식이 (x² ÷ 9) - (y² ÷ 4) = 1인 쌍곡선이 지점 A와 B에서 만난다 이번 문제에서 원하는 것은 A × B가 지름인 원의 방정식입니다 A × B가 지름인 원의 방정식입니다 먼저 원과 쌍곡선을 시각화 해보겠습니다 원의 방정식은 x² + y² - 8x입니다 원의 방정식은 x² + y² - 8x입니다 다르게 적어보겠습니다 식은 x² - 8x + y² = 0이라고도 할 수 있습니다 식은 x² - 8x + y² = 0이라고도 할 수 있습니다 여기서 양변에 16을 더한다면 x를 완전제곱식으로 정리할 수 있을 것입니다 16을 양변에 더하겠습니다 16을 양변에 더하겠습니다 그래서 이 식은 (x - 4)² + y² = 16이 됩니다 그래서 이 식은 (x - 4)² + y² = 16이 됩니다 그리고 원은 이렇게 생겼을 것입니다 이게 x축이고 이게 y축이라고 합시다 원의 중심은 (4, 0)입니다 원의 중심은 (4, 0)입니다 1, 2, 3, 4칸입니다 그리고 반지름의 길이는 4일 것입니다 반지름의 제곱이 16이기 때문입니다 그래서 반지름의 길이는 4입니다 여기서 4칸을 앞으로 가야 하고 여기서도 4칸 위로 가야 합니다 이렇게 4개의 점이 생기게 되는데 이 점들은 모두 원 위에 있는 점입니다 보기 좋게 다시 적어놓겠습니다 이 4개의 점이 모두 원 위에 있을 점들입니다 원은 이렇게 생겼을 것입니다 잘 그린 것은 아니지만 이 원을 보고 아이디어만 얻으면 됩니다 이게 문제에서 제시한 원입니다 이제 쌍곡선을 그려보겠습니다 쌍곡선의 식은 (x² ÷ 9) - (y² ÷ 4) = 1입니다 x값이 양수인 것을 보았을 때 쌍곡선은 좌우로 열려 있을 것입니다 이렇게 생긴 형태의 쌍곡선일 것입니다 사실 우리는 점근선도 파악할 수 있습니다 점근선을 구해보도록 하겠습니다 먼저 y값을 구해보겠습니다 식을 y에 대해서 정리하면 -(y² ÷ 4) = -(x² ÷ 9) + 1가 됩니다 -(y² ÷ 4) = -(x² ÷ 9) + 1가 됩니다 양변에 (x² ÷ 9)를 빼서 나온 결과입니다 이번에는 양변에 -4를 곱하겠습니다 이번에는 양변에 -4를 곱하겠습니다 그렇다면 y² = (4 ÷ 9) × x² + 1이 됩니다 그렇다면 y² = (4 ÷ 9) × x² + 1이 됩니다 여기서 y는 양수 부분일 것이지만 여기서 y는 양수 부분일 것이지만 점근선을 이해하기 위해 자세히 구하겠습니다 y는 √(4 ÷ 9)x² - 4입니다 따라서 x가 무수히 커질 때 상수항은 점점 영향이 없어지게 됩니다 그래서 x가 무수히 커질 때 이 식은 √(4 ÷ 9)x²에 점점 가까워 질 것입니다 상수항은 별로 상관이 없습니다 그래서 이 식은 (2 ÷ 3)x일 것입니다 그래서 이 식은 (2 ÷ 3)x일 것입니다 그래서 이 선을 그리면, 기울기가 2/3입니다 즉 3칸 앞으로 가면 2칸 위로 가게 됩니다 그래서 점근선은 이렇게 생겼을 것입니다 반대 방향의 점근선은 방금 그린 선과 대칭입니다 또한 x축을 기준으로 대칭인 부분에도 점근선을 그릴 것입니다 만약 x축을 교차하는 것을 알고 싶다면 y를 0으로 설정하면 됩니다 y를 0으로 설정하면 (x² ÷ 9) = 1이 나오게 됩니다 따라서 x는 ±3이 될 것입니다 쌍곡선과 x축의 교차점은 이 부분입니다 그래서 오른쪽의 점근선은 이렇게 생겼을 것입니다 왼쪽에도 점근선은 있을 것입니다 하지만 원과 만나지 않기 때문에 중요하지는 않을 것 같습니다 문제를 다시 보면, 쌍곡선과 원이 A와 B 지점에서 만난다고 알려줬습니다 그래서 이 부분이 A이고, 반대 부분을 B라고 하겠습니다 그리고 문제에서 원하는 것은 선분 AB를 반지름으로 하는 원의 방정식입니다 선분을 그려보면 다음과 같습니다 이 점들을 잇는 원의 방정식을 구해야 합니다 우리는 방금 원과 쌍곡선이 교차하는 두 점들을 구했습니다 이제, 문제를 푸는 가장 쉬운 방법은 문제에서 주어진 두 식 중에서 원을 y²에 대하여 푼 다음에 그 값을 쌍곡선의 방정식에 대입시켜서 교차하는 지점들의 x좌표 값을 알아보겠습니다 그래서 x값이 우리에게 필요합니다 그 필요한 값이 바로 이 지점입니다 이 지점을 사용하면 되겠습니다 그렇다면 y좌표 값을 구해야 합니다 y값은 분명 원의 원주 위에 있을 것입니다 (x, 0)이 중심이 되고 그 다음 원하는 식을 얻을 수 있을 것입니다 그걸 해보겠습니다 먼저 위에 있는 원의 방정식부터 해결해 보겠습니다 만약 양변에 x² - 8을 뺀다면 원의 방정식을 y²에 대해서 쓸 수 있을 것입니다 먼저 양변에 8x을 더하겠습니다 우변에 8x가 생겼습니다 그런 다음 x²을 양변에 빼주면 y² = 8x - x²가 될 것입니다 좌변에 있는 값 중에서 y²을 빼고 모두 우변으로 옮겼습니다 이제 저는 이 식의 y²을 쌍곡선의 식에 대입하겠습니다 이제 저는 이 식의 y²을 쌍곡선의 식에 대입하겠습니다 그래서 쌍곡선의 식은 (x² ÷ 9) - (y² ÷ 4) = 1입니다 문자 y를 사용하는 대신에 물론 이 식을 먼저 만족해야 대입시킬 수 있습니다 y를 사용하는 대신 8x - x²을 대입하겠습니다 식을 풀 수 있는지 보겠습니다 이 식은 아직은 그렇지 않아 보여도 2차방정식입니다 이 식은 아직은 그렇지 않아 보여도 2차방정식입니다 이 식을 간단하게 만들어 봅시다 먼저 식을 정리하면 (x² ÷ 9) - 2x + (x² ÷ 4)= 1이 됩니다 두 번째 항의 분수를 두 개의 항으로 나누었습니다 (x² ÷ 9) - 2x + (x² ÷ 4)= 1입니다 분수를 없애기 위해서는 양변에 36을 곱해야 합니다 36이 4 × 9이기 때문입니다 먼저 36 ÷ 9 = 4입니다 그래서 이 식의 값은 4x² - 72x + 9x² = 36이 됩니다 그래서 이 식의 값은 4x² - 72x + 9x² = 36이 됩니다 그리고 x²을 묶으면 13x² - 72x = 36이 됩니다 그리고 양변에 36을 빼면 13x² - 72x - 36 = 0이 됩니다 이제 이차방정식만 남게 되었습니다 이 식에서 해 x를 구하면 됩니다 근의 공식을 사용하겠습니다 먼저 x는 -b, 즉 -72에 72²을 더하거나 뺍니다 먼저 x는 -b, 즉 -72에 72²을 더하거나 뺍니다 먼저 x는 -b, 즉 -72에 72²을 더하거나 뺍니다 그런 다음 -4ac를 더해줍니다 c는 -36이고 a는 13입니다 그런 다음 이 값을 2a로 나눠줍니다 2a로 나눠줍니다 그래서 x는 {72 ± √(72² - 4 × 13 × 36)} ÷ 26 이 됩니다 어려운 것은 이 값을 간단하게 만드는 것입니다 하지만 흥미로운 점은 여기서부터입니다 이 식을 여기 다시 쓰도록 하겠습니다 이 식을 여기 다시 쓰도록 하겠습니다 먼저 72 × 72는 2 × 36 × 2 × 36과 같습니다 먼저 72 × 72는 2 × 36 × 2 × 36과 같습니다 두 항이 각각 72입니다 따라서 두 식은 같습니다 그런 다음 우리는 이 값에 4 × 36 × 13에 더해야 합니다 그런 다음 우리는 이 값에 4 × 36 × 13에 더해야 합니다 이 식은 제곱근 안의 값입니다 여기서 작업하는 게 더 편할 것 같습니다 여기서 작업하는 게 더 편할 것 같습니다 먼저 4 × 36을 생략할 수 있습니다 먼저 4 × 36을 생략할 수 있습니다 이 값을 계산하면 숫자를 다시 쓰겠습니다 이 값을 계산하면 144입니다 여기 4 × 36이라고 써두겠습니다 여기 4 × 36이라고 써두겠습니다 그리고 왼쪽에 있는 두 개의 2를 하나의 36을 남겨두고 4 × 36이라고 하겠습니다 그리고 13도 더해야 합니다 그래서 이 값은 144 × (36 + 13)가 됩니다 36 + 13은 49가 됩니다 이게 두 개의 제곱수로 나눠진다는 것이 우리에게 운이 정말 좋은 것 같습니다 그래서 이 값은 12 × 7, 즉 84라고 할 수 있습니다 그래서 이 값은 12 × 7, 즉 84라고 할 수 있습니다 그래서 근호 안의 값은 ±84라고 할 수 있습니다 이 모든 값이 ±84로 생략 되었습니다 이제 이 둘을 합하여 26으로 나눠야 합니다 만약 -84를 더한다면 그래프에서 정의될 수 없는 경우가 나올 것입니다 우리가 원하는 x값은 양수이기 때문입니다 그래서 84를 더하는 경우에만 집중하겠습니다 먼저, 분자와 분모를 2로 나누겠습니다 그렇다면 (36 + 42) ÷ 13이 됩니다 즉 78 ÷ 13이 되는 것입니다 분자와 분모를 나누면 6이 됩니다 이 값은 6입니다 그래서 이 지점들의 x값도 6입니다 바로 이 부분이 6입니다 바로 이 부분이 6입니다 y값은 아직 모릅니다 이제 y값을 구해봅시다 사실 구하기는 매우 쉽습니다 x값을 문제에 있는 식들 중 하나에 6으로 대입하면 됩니다 이 식이 조금 더 쉬워 보입니다 그래서 y²=8 × 6 - 6²가 됩니다 이 식의 값은 12입니다 따라서 y는 √12입니다 원한다면 제곱근을 정리할 수 있지만 여기서 중요한 건 그것이 아닙니다 여기 있는 지점의 좌표는 (6, 0)이지만 이 점은 중심점입니다 실제로 교차하는 지점의 좌표는 (6, +12)입니까? 실제로 교차하는 지점의 좌표는 (6, ±12)입니다 아래쪽에 있는 점의 좌표는 (6, -√12)입니다 이 지점은 (6, 0)입니다 이 지점이 우리가 구할 원의 중심점입니다 그렇다면 원의 방정식이 어떻게 됩니까? 그렇다면 원의 방정식이 어떻게 됩니까? 먼저 중심점이 (6, 0)이라는 것은 알게 되었습니다 먼저 중심점이 (6, 0)이라는 것은 알게 되었습니다 여기 적어놓겠습니다 중심은 (6, 0)입니다 그래서 이 식은 (x - 6)² + y² = r²일 것입니다 여기서 r은 반지름의 길이입니다 반지름의 길이는 무엇입니까? 반지름의 길이는 바로 이 부분입니다 즉 y값과 같다고 볼 수 있습니다 반지름의 길이는 √12입니다 식에서의 값은 r²이기 때문에 반지름의 제곱은 12일 것입니다 반지름의 제곱은 12일 것입니다 따라서 원의 방정식은 (x - 6)² + y² = 12일 것입니다 보기에서 식을 골라봅시다 보기에서는 식을 모두 전개합니다 우리도 식을 전개하겠습니다 식을 전개하면 x² - 12x + 36 + y² = 12가 됩니다 식을 전개하면 x² - 12x + 36 + y² = 12가 됩니다 그리고 양변에 12를 빼주겠습니다 그리고 양변에 12를 빼주겠습니다 그래서 식은 x² - 12x + 24 + y² = 0이 됩니다 그래서 식은 x² - 12x + 24 + y² = 0이 됩니다 어느 보기가 맞는지 보도록 하겠습니다 식을 복사한 다음 위에 올려두겠습니다 위에 올려두겠습니다 여기 맞는 식은 x² + y² - 12x + 24 = 0 여기 맞는 식은 x² + y² - 12x + 24 = 0 여기 맞는 식은 x² + y² - 12x + 24 = 0 a가 정답인 것 같습니다 확인해보겠습니다, x² + y² - 12x + 24 = 0 확인해보겠습니다, x² + y² - 12x + 24 = 0 맞습니다, a가 정답입니다